1、第三章 不等式 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点)3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)1.通过利用基本不等式比较大小和证明不等式的学习，培养逻辑推理素养2.借助利用基本不等式求最值和基本不等式的实际应用，培养数学建模及数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1重要不等式如果a，bR，那么a2b2 2ab(当且仅当ab时取“”).思考：如果a0，b0，用 a，b分别代替不等式a2b22ab中的a，b，可得到怎样的不等式？提示 ab2 ab.2基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：
2、；(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号a，b 均为正实数ab思考：不等式a2b22ab与 abab2 成立的条件相同吗？如果不同各是什么？提示 不同，a2b22ab成立的条件是a，bR；abab2成立的条件是a，b均为正实数3算术平均数与几何平均数(1)设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ；(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数 它们的几何平均数ab不小于思考：ab2 ab与ab22ab是等价的吗？提示 不等价，前者条件是a0，b0，后者是a，bR.4用基本不等式求最值的结论(1)设 x，y 为正实数，若 xys(和 s 为定值)，则当 xys2时，积 x
3、y 有最 值为(2)设 x，y 为正实数，若 xyp(积 p 为定值)，则当 xy p时，和 xy 有最 值为 大s24小2 p5基本不等式求最值的条件(1)x，y必须是 (2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为 ；求和xy的最小值时，应看积xy是否为 (3)等号成立的条件是否满足正数定值定值思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？提示 三个条件是：一正，二定，三相等求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值B 因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x2y0，即x2y，故选B.1不等式(x2y)1x2y2成立的前提条件为
4、()Ax2y Bx2yCx2yDx2y400 因为x，y都是正数，且xy40，所以xyxy22400，当且仅当xy20时取等号2设x，y满足xy40，且x，y都是正数，则xy的最大值为 2 由基本不等式可得x1x2x1x2，当且仅当x1x，即x1时等号成立3函数f(x)x1x(x0)的最小值为 4给出下列说法：若x(0，)，则sin x 1sin x2；若a，b(0，)，则lg alg b2 lg alg b；若xR且x0，则x4x 4.其中正确说法的序号是 因为x(0，)，所以sin x(0，1，所以成立；只有在lg a0，lg b0，即a1，b1时才成立；x4x|x|4x 2|x|4x 4
5、成立合 作 探 究 释 疑 难【例1】已知0a1，0b0，b0，所以ab2 ab，a2b22ab，所以四个数中最大的数应为ab或a2b2.又因为0a1，0b1，所以a2b2(ab)a2ab2ba(a1)b(b1)0，所以a2b22)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是 (2)若ab1，P lg alg b，Q12(lg alg b)，Rlg ab2，则P，Q，R的大小关系是 (1)mn(2)PQ2，所以a20，又因为ma1a2(a2)1a22，所以m2（a2）1a224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以lg alg b0，所以Q12(lg alg
6、b)lg alg bP；Q12(lg alg b)lg alg blg ablg ab2 R.所以PQ ab bc ca.思路探究：构造基本不等式的条件运用基本不等式证明判断等号成立的条件 得出结论利用基本不等式证明不等式证明 a0，b0，c0，ab2 ab0，bc2 bc0，ca2 ca0，2(abc)2(ab bc ca)，即abc ab bc ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc ab bc ca.1所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，可尝试用基本不等式证明2利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时，要
7、注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用跟进训练2已知a，b，c为正实数，且abc1.求证：1a11b11c1 8.证明 因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1a11aa bca 2 bca.同理，1b12 acb，1c12 abc.上述三个不等式两边均为正，相乘得1a11b11c1 2 bca2 acb2 abc8，当且仅当abc13时，取等号【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎
8、笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)要使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：(1)已知ab为定值，如何求ab的最大值？(2)已知ab为定值，如何求ab的最小值？解(1)设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y2 2x3y2 6xy，2 6xy18，得xy272，即S272，当且仅当2x3y时，等号成立由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大法二：由2x3y18，得x932y.x
9、0，932y0，0y6，Sxy932y y32(6y)y.0y0，S32（6y）y22272.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长4.5 m，宽3 m时，可使面积最大(2)由条件知Sxy24.设钢筋网总长为l，则l4x6y.法一：2x3y2 2x3y2 6xy24，l4x6y2(2x3y)48.当且仅当2x3y时，等号成立由2x3yxy24，解得x6，y4.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小法二：由xy24，得x24y.l4x6y96y 6y616y y 6216y y48.当且仅当16y y，即y4时，等号成立，此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m
10、时，可使钢筋网总长最小求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；(4)正确写出答案跟进训练3某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图所示池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖).试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价解 设污水池的长为x米，则宽为400 x米，
11、总造价y(2x2400 x)2002250400 x80400400 x900 x32 0004002x900 x 32 00056 000(元)，当且仅当x900 x，即x30时取等号故污水池的长为30米、宽为403 米时，最低造价为56 000元.探究问题1由x2y22xy知xyx2y22，当且仅当xy时“”成立，能说xy的最大值是x2y22吗？能说x2y2的最小值为2xy吗？利用基本不等式求最值提示 最值是一个定值(常数)，而x2y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误要利用基本不等式ab2 ab(a，bR)求最值，必须保证一端是定值，方可使用2小明同学初学利用基本
12、不等式求最值时，是这样进行的：“因为yx1x2x1x2，当且仅当x1x，即x21时“”号成立，所以yx1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示 不正确因为利用基本不等式求最值，必须满足x与1x 都是正数，而本题x可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用”基本不等式求解正确解法应为：当x0时，yx 1x 2x1x 2，当且仅当x 1x，即x1时取“”，yx 1x 的最小值是2；当x0时，yx1x 2（x）1x 2，当且仅当x1x，即x1时，取“”，yx1x的最大值是2.3已知x3，求yx24x的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：yx24xx4x2x4x4，当x3时，yx24x的最
13、小值为4.”提示 不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“”号不成立本问题可采用yx 4x 的单调性求解【例4】(1)已知x54，求y4x214x5的最大值；(2)已知0 x0，求f(x)2xx21的最大值；(4)已知x0，y0，且1x9y1，求xy的最小值思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征(1)4x214x54x514x53.(2)12x(12x)142x(12x).(3)2xx21 2x1x.(4)xy(xy)1(xy)1x9
14、y.解(1)x0，y4x214x5(54x154x)3231，当且仅当54x154x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414 116，当且仅当2x12x0 x0，x1x2x1x2，f(x)221，当且仅当x1x，即x1时等号成立(4)x0，y0，1x9y1，xy1x9y(xy)yx9xy 1061016，当且仅当yx9xy，又1x9y1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.1(变条件)在例题(1)中条件改为x54，求函数f(x)4x214x5的值域解 x54，4x50，f(x)4x514x5
15、3235.当且仅当4x514x5.即x32时，等号成立f(x)的值域为5，).2(变条件)在例题(1)中去掉条件x54时，4x50f(x)4x514x53235当且仅当4x514x5时等号成立即x32时f(x)min5.当x54时，4x50)的单调性求得函数的最值1判断正误(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立()(2)对任意的a，bR，若a与b的和为定值，则ab有最大值()(3)若xy4，则xy的最小值为4.()(4)函数f(x)x22x21的最小值为2 21.()答案(1)(2)(3)(4)0，3 24 由0 x0，故 x（32x）122x（32x）122x（32x）23 24，当且仅当x34时，上式等号成立所以0 x（32x）3 24.2若0 x0).因为x4x2x4x4，当且仅当x4x即x2时取等号，所以ymin48032041 760(元).4设a，b，c都是正数，试证明不等式：bca cab abc 6.证明 因为a0，b0，c0，所以baab2，caac2，bccb2，所以baab caac bccb 6，当且仅当baab，caac，cbbc，即abc时，等号成立所以bca cab abc 6.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
