1、(2)1.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(bc)cosAacosC，则cosA _(3sinsin)cossin sin3sin cossin.3sin0cos.3BCAACBABBA【解析】由题设，结合正弦定理得，即因为，所以332.6013_sinsinsinABCAbabcABC在中，其面积为，则等于22211sin60324.2cos1 162 1 4cos60132 39.sin3sinsinsin2 39.sinsinsinsin3ABCSccabcbcAaAabcABCaabcAABC 因为，所以 所以 ，所以由正弦定理得，所以【解析】3.甲船在岛B的正南方
2、A处，AB10千米甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是_分钟22222(104)62(104)6cos1202820100.5150147CDxCDxxxxxxxCD如图，设甲船行至 点，乙船行至 点时甲、乙两船相距最近，它们所航行的时间是 小时则【所以，当 小时分解钟时，取析】最小值4.在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sinAcosC3cosAsinC，求b的值222222cos.202 cos2.sin cos3cos sinsin coscos si
3、n4cos sinsin()4cos sinsin4sin cos.sinsin4 cos.4.acbbcAacbbbcAACACACACACACACBCAbBCcbcAb由余弦定理得 又 ，所以 又，即，即，即由正弦定理得，故 由】解得析【解5.一半径为4 m的水轮如图，水轮圆心O距离水面2 m已知水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点要多长时间？0(0)2422s60152151OxOPOPttttOxOP 建立如图所示的平面直角坐标系设角，是以轴为始边，为终边的角易知在
4、内所转过的弧度为，故角 是以【解析轴为始边，为】终边的角，24sin()1524sin()2.15004sin20.(0).2624sin()2.156Pthtthht故 点的纵坐标为，则 又当 时，所以 因为，所以 故所求函数关系式为 24sin()26156224sin()4sin()1.15615625.15625 s.2htttttP令 ，则，即取 ，解得 故 点第一次到达最高点大约需要 12 sin2 sin2 sinsinsinsin222sinsinsin1.aRAbRBcRCabcABCRRRa b cABC正弦定理变形公式：化边为角：，；化角为边：，；(2)基本题型：已知一边
5、和两角，解三角形：先由内角和定理求第三角，再用正弦定理，有解时只有一解已知两边和其中一边的对角，解三角形：先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边与角在已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解 2()222()222sin()sincos()costan()tansincoscossin2222tantantantantant12anABCABCCABCABCABABCABCABCABCABCABCABCABCABC三角形内角和定理：在中，三角形中的基本关系：在中：，；，；在中，coscossins3inbaCcAABCABAB，在中，3余
6、弦定理(1)基本题型：已知三边，解三角形：由余弦定理和内角和定理求角，在有解时只有一解已知两边及夹角，解三角形：先由余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角，有一解(2)余弦定理是勾股定理的推广：判断Ca2b2c2，C为直角a2b2c2，C为钝角a2b2c2.4sin()sinsincos.2212ABCABCABCABC特别提醒：求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：，求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化5解三角形常见类型及解法在三角形ABC的六个元素(三个角A、B、C，三条边a、b、c)中要知三个(除三个角外)才能求解，常见类型及其解法见
7、下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如：a，B，C)正弦定理由ABC，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如：a，b，C)正弦定理余弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC求另一角在有解时只有一解三边(如：a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC求出角C；在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如：a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解6.应用正、余弦定理解三角形应用题的一般步骤：(1)理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
8、(2)依据已知条件和求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；(3)根据三角形已知的边角条件合理选择正、余弦定理解三角形，从而得到数学模型的解；(4)检验上述所求的解是否具有实际意义，从而最终得出实际问题的解7解三角形应用题常见的几种情况：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求出其他三角形中的解有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解1(2010江苏卷)某兴趣
9、小组测量电视塔AE的高度H(单位：m)，如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h4 m，仰角ABE，ADE.(1)该小组已经测得一组，的值，tan1.24，tan1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，最大？tan.tan.tantan,tantantantan4 1.24124.tantan1.241.20124.1HHADADHhABBDHHhADABDBhHHm由，得同理，因为，故得解得 因此，算出的电视塔的高度 是【解析】tan,tan,tant
10、antan()1tantan,()21HdABdHhHhADDBdHHhhddHHhH Hhdddd由题设知，得()2(),()125 121 55 555 5tan()002255 555 5.H HhdH HhddH Hhdddm因 当且仅当 时，取等号故当 时，最大因为，则，所以，当 时，最大故所求的 是选题感悟：本题主要考查解三角形，考查三角与其他知识的综合，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力 2.(cos()1)(1cos)3.21sin sin22ABCabcABCbacACBACABCmnm n在中，、分别是角、所对的边，且 向量，和 ，满足求的值；求证：三角形为
11、等边三角形(2010南通一模卷)33cos()cos.22()3cos()cos(),23cos cossin sin(cos cossin sin),23sin41sin.ACBBACACACACACACACACm n由，得又 ，故得即所以解【析】2222222222222sinsin sin3sin.43111cos1cos.442231coscos()0cos.2232cos2.3bacBACBBBBACBBbacacBbacacbacacacacacBABC证明：由 及正弦定理得，故于是 ，所以 或因为，所以，故 由余弦定理得 ，即 又，所以 ，得 因为 ，所以三角形为等边三角形选题感
12、悟：本题既考查了三角恒等变形的能力，又考查了平面向量的数量积和正、余弦定理的灵活运用这类题是近几年高考的热点3(2011海门期末卷)某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段若要求市中心O与AB的距离为10km，问把A、B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A、B两站之间的距离最短？并求最短距离222222.1352cos135222(22).1110sin13510 22210 2(22)20(2 1)10 42 2AOBOAaOBbAOOBAOBABabababababababABababABABABABabAB在中，设，因为为正西方向，为东北方向，所以，则 又，所以，所以，所以 当 时，上式【解取等号所以把站、分别设在公路析】上离市中心10 42 2km20(2 1)km.OAB都是才能使、两站之间的距离最短，且最短距离为选题感悟：在高考中，正、余弦定理每年均有考查，以解三角形为背景的实际问题，也是高考的重点之一