1、绝密启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（三）本试卷共4页，22小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数为纯虚数，且，则z=（ ）ABC或D或3已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，点M为左顶点，点F为右焦点，过点F作x轴的垂线交C于A，B两点，则AMB=（ ）A45B60C90D1204函数的部分图像大致为（ ）ABCD5北京2022年冬奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可爱，某教师用吉祥物的小挂件作为奖品鼓励学生学习，设计奖励方案如下：在不透明的
2、盒子中放有大小、形状完全相同的6张卡片，上面分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从中不放回地抽取两次卡片，每次抽取一张，只要抽到的卡片编号大于4就可以中奖，已知第一次抽到卡片中奖，则第二次抽到卡片中奖的概率为（ ）ABCD6在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PBC为等边三角形，二面角PBCA为30，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（ ）ABCD7已知ABC中，在线段BD上取点E，使得，则（ ）ABCD8已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）ABCD 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分
3、，部分选对的得2分，有选错的得0分9随着我国碳减排行动的逐步推进，我国新能源汽车市场快速发展，新能源汽车产销量大幅上升，20172021年全国新能源汽车保有量y（单位：万辆）统计数据如下表所示：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x12345保有量y/万辆153.4260.8380.2492784由表格中数据可知y关于x的经验回归方程为，则（ ）AB预测2023年底我国新能源汽车保有量高于1000万辆C20172021年全国新能源汽车保有量呈增长趋势D2021年新能源汽车保有量的残差（观测值与预测值之差）为71.4410已知圆，圆，则（ ）A无论k取何值，圆心始终在直
4、线上B若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为C若圆O与圆的公共弦长为，则或D与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为11已知函数（其中0，0）的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，f（x）的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则（ ）ABf（x）在区间内单调递增Cf（x）的图像关于点对称Df（x）的图像关于直线对称12已知抛物线（p0）的焦点为F，斜率为的直线过点F交C于A，B两点，且点B的横坐标为4，直线过点B交C于另一点M（异于点A），交C的准线于点D，直线AM交准线于点E，准线交y轴于点N
5、，则（ ）AC的方程为BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知，则_14若的展开式中存在常数项，则n的一个值可以是_15已知数列是以2为公比的等比数列，记数列的前n项和为，若不等式对任意恒成立，则n的最小值为_16我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行，且都是矩形的六面体（如图），现从某城楼中抽象出一几何体ABCDEFGH，其中ABCD是边长为4的正方形，EFGH为矩形，上、下底面与左、右两侧面均垂直，且平面ABCD与平面EFGH的距离为4，则异面直线BG与CH所成角的余弦值为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在数
6、列中，（1）求的通项公式；（2）求的前n项和18如图，在平面四边形ABCD中，（1）若，求；（2）求的取值范围19近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作取得积极进展某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作建立垃圾分类激励机制，比如
7、，垃圾分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；（2）估计A小区满意度得分的第80百分位数；（3）以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成
8、推行此方案，低于70分说明居民不太赞成推行此方案现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数学期望20如图，在多面体PABCFE中，PA平面ABC，且，D为PA的中点，连接BD，PC，点M，N满足，（1）证明：平面PEF；（2）若，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值21已知椭圆（ab0），左顶点为A，上顶点为B，且，过右焦点F作直线l，当直线l过点B时，斜率为（1）求C的方程；（2）若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由22已知函数（1）
9、求f（x）在区间内的极大值；（2）令函数，当时，证明：F（x）在区间内有且仅有两个零点数学（三）一、选择题1D解析：由得，解得，由得，即，即(4x)(x1)0且x10，解得，所以故选D项2C解析：设(a，bR)，则，因为复数为纯虚数，所以解得又，所以或，解得或，所以或故选C项3C解析：由题意得，即，又，所以，设点A在x轴上方，则，又，所以，因为，所以，所以故选C项4C解析：由题知f(x)的定义域为R，又，所以f(x)为奇函数，排除A，B项；，排除D项故选C项5B解析：若事件为“第一次抽到卡片中奖”，事件为“第二次抽到卡片中奖”，则，故故选B项6A解析：如图，由，得PCD为异面直线AB与PC所成
10、的角或其补角，设E，F分别为BC，AD的中点，连接PE，PF，EF，由底面ABCD为正方形，PBC为等边三角形，得PEBC，FEBC，所以PEF=30设AB=2，则，由余弦定理得PF=1，又PFAD，FD=1，所以，又PC=CD=2，所以故选A项7D解析：由题意知AEB是向量与向量的夹角，则故选D项8A解析：因为f(x)2x，所以f(x)2x0，构造函数F(x)=f(x)x2，当x(0，)时，F(x)=f(x)2x0，F(x)在区间(0，)内单调递增，且F(2)=0，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)是定义在R上的偶函数，所以F(x)在区间(，0)内单调递减，且F(2)=0不等式xf
11、(x1)2x2x3x整理得xf(x1)2x2x3x0，即xf(x1)(x1)20，当x0时，f(x1)(x1)20，则x12，解得x3；当x0时，f(x1)(x1)20，则2x10，解得1x1，又x0，所以1x0综上，不等式xf(x1)2x2x3x的解集为故选A项二、选择题9BCD解析：由题得，代入可得，A项错误；2023年的年份代码为7，代入得，高于1000万辆，B项正确；C项显然正确；将x=5，代入得，相应的残差为784712.56=71.44，D项正确，故选BCD项10ACD解析：圆心Ck的坐标为，在直线上，A项正确；若圆O与圆Ck有公共点，则1|OCk|3，所以，解得或，B项错误；将圆
12、O与圆Ck的方程作差可得公共弦所在直线的方程为，则圆心O到直线的距离，则，解得或k=1，C项正确；当时，圆O与圆Ck外切，圆心距为3，半径差为1，则外公切线长为，D项正确故选ACD项11AB解析：令f(x)=0，则，所以，kZ或，kZ，解得，kZ或，kZ，所以f(x)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，所以，解得=2，所以，所以f(x)的周期，当时，令f(x)=0，即，又0，所以或，所以或，由得，所以，A项正确；由，得，所以f(x)在区间内单调递增，B项正确；，所以f(x)的图像不关于点对称，C项错误；，所以f(x)的图像不关于直线对称，D项错误故选AB项12ABD解析：由题意得，所以，
13、以整理得p26p16=0，又p0，解得p=2，所以C的方程为x2=4y，A项正确；准线方程为y=1，B(4，4)，F(0，1)，直线l1的方程为，与x2=4y联立解得x=1或x=4，所以，则，B项正确；设点，由题意知m1且m4，所以直线，令y=1，得，即，所|以同理可得，所以，D项正确；当m=2时，E(6，1)，所以，则|BD|AE|，C项错误故选ABD项三、填空题13解析：由，得，则144(答案不唯一)解析：，的展开式的通项公式为，取n=4，r=1，得，可得的展开式的常数项为，所以n的一个值可以是4159解析：由题知，则，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项
14、，2为公比的等比数列，则，那么，因为对任意x(0，2023恒成立，则只需即可，令，则f(x)在区间(0，2023上单调递增，所以，所以，即，即，解得n9，又，所以n的最小值为916解析：如图，把此六面体补成正方体，连接AH，AC，由题可知，所以AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角，在AHC中，则四、解答题17解：（1）因为，且2036=20，2037=10，所以当n7时，此时是以20为首项，3为公差的等差数列，则；当n8时，可得数列是个摆动数列，则综上，（2）当n7时，；当n8，且n为奇数时，当n8，且n为偶数时，所以综上，18解：（1）在ABD中，因为，DA=2，DAB=60，由余弦定理
15、得，解得AB=1，由，得ABDB，此时RtCDBRtABD，可得ABC=120在ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以（2）设ADB=，由题意可知，在ABD中，由余弦定理得，在ACD中，由余弦定理得，所以，因为，所以，所以的取值范围是19解：（1）设A小区方案一满意度平均分为，则(450.006550.014650.018750.032850.020950.010)10=72.6，设B小区方案二满意度平均分为，则(450.005550.005650.010750.040850.030950.010)10=76.5，因为72.676.5，所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎（
16、2）因为前4组的频率之和为0.060.140.180.32=0.70.8，前5组的频率之和为0.060.140.180.320.2=0.90.8，所以第80百分位数在第5组，设第80百分位数为x，则0.7(x80)0.020=0.8，解得x=85，所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分（3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为0.8，低于70分的频率为0.2，现从B小区内随机抽取5个人，则XB，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，X的分布列为X01234P由二项分布知20（1）证明：连接AF交PC于点N，因为，PA=2CF，所以，又PN=2NC，则点N与点N重合，所以AN
17、=2NF，同理，连接AE交DB于点M，得AM=2ME，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF（2）解：由题意可知，在PEF中，所以AC2=AB2BC2，所以ABBC，以B为坐标原点，BC，BA，BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以P(0，2，4)，E(0，0，1)，F(2，0，2)，C(2，0，0)，设平面PEF的法向量为，则不妨取x=1，则y=3，z=2，即，设直线PC与平面PEF所成的角为，所以直线PC与平面PEF所成角的正弦值为21解：（1）由题意知又，解得a=2，c=1，所以C的方程为（2）由题得F(1，0)，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方
18、程为x=my1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x，y)，联立得，由根与系数的关系可得，则，因为，所以(xx2，yy2)=(x11，y10)，即xx2=x11，yy2=y10，即，又，即，则点M是以，为焦点，长轴长为2的椭圆上的点当直线l的斜率为0时，l与C相交于P(2，0)，Q(2，0)或P(2，0)，Q(2，0)，因为，则点M为(1，0)，此时点M也是以，为焦点，长轴长为2的椭圆上的点，所以存在两个定点分别为，点M到这两个定点的距离之和为定值222（1）解：由题得，当时，f(x)0，当时，f(x)0，所以(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以f(x)的极大值为（2）证明：，设，则，令，则()，所以(x)在区间内单调递减又，故存在，使得，当时，(x)0，即h(x)0，h(x)在区间(0，x0)内单调递增；当时，(x)0，即h(x)0，h(x)在区间内单调递减又h(0)=10，因为，所以，所以h(x)在区间，内各有一个零点，即F(x)在区间内有且仅有两个零点
