1、专题升级训练 解答题专项训练(三角函数与解三角形)1.已知向量m=,n=.记f(x)=mn.(1)若f(x)=,求cos的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C,若f(A)=,试判断ABC的形状.2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且sin Asin C=.(1)求角B的大小;(2)若x0,),求函数f(x)=sin(x-B)+sin x的值域.3.已知锐角ABC的三个内角为A,B,C,向量p=(cos A-sin A,1+sin A),向量q=(cos A+sin A,2-2sin A)
2、,且pq.(1)求角A;(2)设AC=,sin2A+sin2B=sin2C,求ABC的面积.4.已知函数f(x)=sinx(0)在区间上单调递增,在区间上单调递减.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,且满足. (1)证明:b+c=2a;(2)如图,点O是ABC外一点,设AOB=(0),OA=2OB=2,当b=c时,求平面四边形OACB面积的最大值.5.设函数f(x)=sin+2cos2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称,当x时,求函数y=g(x)的最小值与相应自变量x的值.6.已知函数f(x)=(cos x+sin x
3、)(cos x-sin x).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若0,0,且f,f,求sin(-)的值.7.(2013江苏,15)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),00,则sin B=.因为B(0,),所以B=.又b2=ac,则ba或bc,即b不是ABC的最大边,故B=.(2)因为B=,则f(x)=sin+sin x=sin xcos-cos xsin+sin x=sin x-cos x=sin.因为x0,),则-x-,所以sin.故函数f(x)的值域是.3.解:(1)pq,(cos A+sin A)(cos A-sin A)+(2-2sin A)(1+sin A)=0
4、,sin2A=.而A为锐角,sin A=A=.(2)由正弦定理得a2+b2=c2,ABC是直角三角形,且C=.BC=ACtan=3.SABC=ACBC=3=.4.(1)证明:由题意知:,解得=.,sin Bcos A+sin Ccos A=2sin A-cos Bsin A-cos Csin A,sin Bcos A+cos Bsin A+sin Ccos A+cos Csin A=2sin A,sin(A+B)+sin(A+C)=2sin A,sin C+sin B=2sin A,b+c=2a.(2)解:b+c=2a,b=c,a=b=c,ABC为等边三角形.SOACB=SOAB+SABC=O
5、AOBsin+AB2=sin+(OA2+OB2-2OAOBcos)=sin-cos+=2sin.(0,),-.当且仅当-,即=时取最大值,SOACB的最大值为2+.5.解:(1)f (x)=sin+2cos2=sincos-cossin=sincoscos=sincos=sin,T=12.(2)方法一:由题意知:g(x)=f(2-x)=sin=sin=-sin.x,-.g(x)min=-,此时,即x=.方法二:可以求x关于x=1的对称区间x上函数f(x)的最值.6.解:(1)f(x)=(cos x+sin x)(cos x-sin x)=cos2x-sin2x=cos 2x,函数f (x)的最小正周期为T=.(2)由(1)得f(x)=cos 2x.f,f,cos=,cos=.0,0,sin=,sin=.sin(-)=sincos-cossin=.7.(1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0.故ab.(2)解:因为a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以由此得cos=cos(-).由0,得0-,又0,所以=,=.
