1、高考资源网（） 您身边的高考专家8.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2y22，直线yxb，当b为何值时，(1)直线与圆有两个公共点；(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：(几何法)设圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d，d，半径r.当dr时，直线与圆相交，2b2，所以当2b2时，直线与圆有两个公共点.当dr时，直线与圆相切， ，b2，所以当b2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：(代数法)联立两个方程得方程组消去y得2x22bxb220，164b2.当0，即2b2时，有两个公共点；当0，即b2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与
2、圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x22y21与直线xsin y10(R，k，kZ)的位置关系是()A.相离B.相切C.相交 D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r，设圆心到直线的距离为d，则d.因为k，kZ.所以0sin21，所以d1，即dr，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C：(xa)2(ya)24上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2y21上.当圆C与圆O有两个公共点时，符
3、合题意，故应满足21|OC|21，所以13，即|a|，所以a或a为所求a的范围.【变式训练2】两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(1,1)，(2，2)，则过它们圆心的直线方程为，即yx.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P(1,2)可得它关于直线yx的对称点，即点Q的坐标为(2，1).题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求圆C内过
4、点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图，AB4，D是AB的中点，则AD2，AC4，在RtADC中，可得CD2.设所求直线的斜率为k，则直线的方程为 y5kx，即kxy50.由点C到直线的距离公式2，得k，此时直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x0.所以所求直线为x0或3x4y200. (也可以用弦长公式求解)(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x，y)，因为CDPD，所以0，即(x2，y6)(x，y5)0，化简得轨迹方程x2y22x11y300.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法”，即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1，y1
5、)，B(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由得k.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A.10B.20 C.30D.40【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x3)2(y4)225，过点(3,5)的最长弦为AC10，最短弦为BD24，SACBD20.总结提高1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l2(R表示圆的半径，d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考查各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为避免计算量过大，常采用“设而不求”的方法.- 3 - 版权所有高考资源网
