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2014高考数学(理)一轮复习总教案:8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系.doc

1、高考资源网() 您身边的高考专家8.4直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】已知圆的方程x2y22,直线yxb,当b为何值时,(1)直线与圆有两个公共点;(2)直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一:(几何法)设圆心O(0,0)到直线yxb的距离为d,d,半径r.当dr时,直线与圆相交,2b2,所以当2b2时,直线与圆有两个公共点.当dr时,直线与圆相切, ,b2,所以当b2时,直线与圆只有一个公共点.方法二:(代数法)联立两个方程得方程组消去y得2x22bxb220,164b2.当0,即2b2时,有两个公共点;当0,即b2时,有一个公共点.【点拨】解决直线与

2、圆的位置关系的问题时,要注意运用数形结合思想,既要运用平面几何中有关圆的性质,又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系,养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x22y21与直线xsin y10(R,k,kZ)的位置关系是()A.相离B.相切C.相交 D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r,设圆心到直线的距离为d,则d.因为k,kZ.所以0sin21,所以d1,即dr,所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】如果圆C:(xa)2(ya)24上总存在两个点到原点的距离为1,求实数a的取值范围.【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O:x2y21上.当圆C与圆O有两个公共点时,符

3、合题意,故应满足21|OC|21,所以13,即|a|,所以a或a为所求a的范围.【变式训练2】两圆(x1)2(y1)2r2和(x2)2(y2)2R2相交于P,Q两点,若点P的坐标为(1,2),则点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(1,1),(2,2),则过它们圆心的直线方程为,即yx.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P(1,2)可得它关于直线yx的对称点,即点Q的坐标为(2,1).题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】已知点P(0,5)及圆C:x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2)求圆C内过

4、点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)如图,AB4,D是AB的中点,则AD2,AC4,在RtADC中,可得CD2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为 y5kx,即kxy50.由点C到直线的距离公式2,得k,此时直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为x0.所以所求直线为x0或3x4y200. (也可以用弦长公式求解)(2)设圆C上过点P的弦的中点为D(x,y),因为CDPD,所以0,即(x2,y6)(x,y5)0,化简得轨迹方程x2y22x11y300.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时,注意运用“平方差法”,即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1,y1

5、),B(x2,y2),中点为(x0,y0),由得k.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】已知圆的方程为x2y26x8y0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20 C.30D.40【解析】选B.圆的方程化成标准方程(x3)2(y4)225,过点(3,5)的最长弦为AC10,最短弦为BD24,SACBD20.总结提高1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种,用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征,因此常常要比代数法简捷.例如,求圆的弦长公式比较复杂,利用l2(R表示圆的半径,d表示弦心距)求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆,圆与圆的位置关系,要全面地考查各种位置关系,防止漏解,如设切线为点斜式,要考虑斜率不存在的情况是否合题意,两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时,特别是有关交点问题时,为避免计算量过大,常采用“设而不求”的方法.- 3 - 版权所有高考资源网

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