1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示,学生用书P82)1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|3平面向量共线的坐标表示设a(x1，y
2、1)，b(x2，y2)，其中b0，abx1y2x2y101辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的(2)注意运用两个向量a，b共线坐标表示的充要条件应为x1y2x2y10.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键1已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是()Aa0，be1e2Ba3e13e2，be1e2Cae12e2，be1e2D
3、ae12e2，b2e14e2答案：C2已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()AB.C或 D0答案：C3(2015高考全国卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4) B(7，4)C(1， 4) D(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以从而(4，2)(3，2)(7，4)故选A.法二：(3，2)(0，1)(3，1)，(4，3)(3，1)(7，4)故选A.4(2015高考江苏卷)已知向量a(2，1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_解析：因为 manb(2mn，m2n)(9，8)，
4、所以所以所以mn253.答案：35(必修4 P101习题2.3A组T3改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_解析：设D(x，y)，则由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案：(1，5)考点一平面向量基本定理及其应用学生用书P83在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若，其中，R，则_解析选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得即故.答案若将本例中“”改为“”，则为何值？解：因为()()()，所以，即22，所以2，2，即0.用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过
5、向量的运算来解决. (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理1.设e1、e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1e2_a_b.解析：由题意，设e1e2manb.因为ae12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：考点二平面向量的坐标运算已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的
6、坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因为mbnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)设O为坐标原点，因为3c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因为2b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程
7、思想的应用2.(1)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4，3)，(1，5)，则等于()A(2，7)B(6，21)C(2，7) D(6，21)(2)(2016开封月考)平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(1，c)(c0)，且|2，若，则实数，的值分别是_解析：(1)33(2)63(6，30)(12，9)(6，21)(2)因为|2，所以|21c24，因为c0，所以c.因为，所以(1，)(1，0)(0，1)，所以1，.答案：(1)B(2)1，考点三平面向量共线的坐标表示(高频考点)学生用书P84平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形
8、式出现，难度较小，属容易题高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数； (2)利用两向量共线的条件求向量坐标；(3)三点共线问题(1)(2014高考陕西卷)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为_解析(1)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为0，所以cos 0，得2sin cos ，tan .(2)法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44，4)又(2，6)，由与共线，得(44)
9、64(2)0，解得，所以(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)法二：设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3，3)答案(1)(2)(3，3)(1)向量共线的两种表示形式设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值. 3.(1
10、)(2016广州一模)设向量a(x，1)，b(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值为()A0B2C2 D2(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A、B、C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()Ak2 BkCk1 Dk1(3)(2016浙江省名校联考)已知向量a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n为正数)，若ab，则的最小值是()A2 B3C32 D23解析：(1)选D.由题意得x2140，解得x2.当x2时，a(2，1)，b(4，2)，此时a，b方向相同，不符合题意，舍去；当x2时，a(2，1)，b(4，2)，此时a，b方向相反，符合题意(2)选C.若点A、B、
11、C不能构成三角形，则向量，共线，因为(2，1)(1，3)(1，2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.(3)选D.已知a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n为正数)，若ab，则m(1n)0，即mn1.所以33232，当且仅当时取等号，故的最小值是32，故选D.1.设向量e1，e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|2，则()A.e1e2B.e1e2C.e1e2D.e1e2解析：选C.由题意知2，所以3，()e1e2.2已知向量a，b(x，1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x的值为()A4B8C0 D2解析：选A.a2b，2ab(16x，x1
12、)，由已知(a2b)(2ab)，显然2ab0，故有(16x，x1)，R，所以x4(x0)3(2016温州调研)在下列向量组中，可以把向量a(2，3)表示成e1e2(，R)的是()Ae1(0，0)，e2(2，1)Be1(3，4)，e2(6，8)Ce1(1，2)，e2(3，2)De1(1，3)，e2(1，3)解析：选C.由题意可得e1，e2可以作为基底，即不共线，而A，B，D中的e1，e2都共线，C中e1，e2不共线，故选C.4(2016南昌十校联考)已知a(，1)，若将向量2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，则b的坐标为()A(0，4) B(2，2)C(2，2) D(2，2)解析：选B.因
13、为a(，1)，所以2a(2，2)，易知向量2a与x轴正半轴的夹角150(如图)向量2a绕坐标原点逆时针旋转120得到向量b，在第四象限，与x轴正半轴的夹角30，所以b(2，2)，故选B.5(2016龙岩质检)如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：2；，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A BC D解析：选B.在ON上取点C使2，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则2，其终点不在阴影区域内，排除选项A，C；取OA的中点E，作EF綊OB，由于，所以的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B.6(2016洛阳统考)如图，A，B，C是圆O上的三点，CO
14、的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若mn，则mn的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(，1) D(1，0)解析：选D.由点D是圆O外一点，可设(1)，则(1).又C，O，D三点共线，令(1)，则(1，1)，所以m，n，且mn(1，0)7已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，则向量的坐标是_解析：由点C是线段AB上一点，|2|，得2.设点B为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)答案：(4，7)8已知A(2，1)，B(3，5)，C(3，2)，t(tR)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是_解析：设点P
15、(x，y)，则由t(tR)，得(x2，y1)(1，4)t(1，1)(1t，4t)，所以解得由点P在第二象限，得所以5t3.答案：(5，3)9(2016合肥质检)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，向量a(cos C，bc)，向量b(cos A，a)且ab，则tan A_解析：ab(bc)cos Aacos C0，即bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A，所以sin A，tan A.答案：10已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b
16、，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：a，b，ab，故错；ab，故正确；()(ab)ab，故正确；所以baabba0.故正确所以正确命题为.答案：311.如图，以向量a，b为邻边作OADB，用a，b表示，.解：因为ab，ab，所以ab.因为ab，所以ab，所以ababab.综上，ab，ab，ab.12已知a(1，0)，b(2，1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线？(2)若2a3b，amb且A、B、C三点共线，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因为kab与a2b共线，所以2(k2)(1)50，即2k
17、450，得k.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因为A、B、C三点共线，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.1若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则a在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0) B(0，2)C(2，0) D(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(2，2)，即a2p2q(2，4)，令axmyn(
18、xy，x2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)2(经典考题)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_解析：以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1，1)，b(6，2), c(1，3)由cab，即(1，3)(1，1)(6，2)，得61，23，故2，则4.答案：43(2016太原模拟)已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线解：(1)t1t2t1(0，2)
19、t2(4，4)(4t2，2t14t2)当点M在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明：当t11时，由(1)知(4t2，4t22)因为(4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，且有公共点A，所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线4如图，设Ox，Oy为平面内相交成60角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量xe1ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标若的坐标为(1，1)(1)求|；(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使AOB的面积最小，并求出最小值解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.|1，|1，ONP120，所以|.(2)设|x，|y.mn(mn1)，则mnmxe1nye2.得1.SAOB|sin 60xysin 60xy.因为1，所以2，SAOBxy，当且仅当xy2，即当A(2，0)，B(0，2)时，AOB面积最小，最小值为.
