1、第7讲正弦定理与余弦定理,学生用书P68)1正弦定理和余弦定理定 理正弦定理余弦定理内 容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形a2Rsin_A，b2Rsin_B，cos A；形式c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos B；cos C2.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin_Babsin_C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的
2、对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图 形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解1在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B()A.B.C. D1解析：选B.在ABC中，由正弦定理，得sin B.2(必修5 P8练习T2(1)改编)在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC()A90 B120C135 D150解析：选B.cos B.所以B60，所以AC120.3在ABC中，若a18，b24，A4
3、5，则此三角形()A无解 B有两解C有一解 D解的个数不确定解析：选B.因为，所以sin Bsin Asin 45.又因为ab，所以B有两个4(2014高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca，2sin B3sin C，则cos A的值为_解析：由2sin B3sin C及正弦定理得2b3c，即bc.又bca，所以ca，即a2c.由余弦定理得cos A.答案：5(2015高考重庆卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，则c_解析：因为 3sin A2sin B，所以 3a2b.又a2，所以 b3.由余弦
4、定理可知c2a2b22abcos C，所以 c2223222316，所以 c4.答案：4考点一利用正、余弦定理解三角形(高频考点)学生用书P69利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题高考对正、余弦定理的考查有以下三个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数性质结合；(3)解三角形与三角恒等变换结合(1)(2015高考广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_(2)(2015高考安徽卷)在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长解(1)在ABC中，因为 sin B，0B，所
5、以B或B.又因为 BC，C，所以B，所以A.因为 ，所以b1.故填1.(2)设ABC的内角BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccos BAC(3)262236cos1836(36)90.所以a3.又由正弦定理得sin B，由题设知0B，所以cos B .在ABD中，因为ADBD，所以ABDBAD，所以ADB2B，故由正弦定理得AD.利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判
6、断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 1.(2014高考安徽卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解：(1)因为A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cos A.由于0A，所以sin A .故sinsin Acos cos Asin .考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状学生用书P69在ABC中，a，b，c分别
7、为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由题意知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰钝角三角形若本例的条件变为2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且sin Bsin C，试判断ABC的形状解：因为2as
8、in A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，所以cos A，所以A60.因为ABC180，所以BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，所以sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.所以sin Bcos B，即sin(B30)1.又因为0B120，30B30150，所以B3090，即B60.所以ABC60，所以ABC为正三角形判断三角形形状的两种途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已
9、知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 2.(1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形 D不确定(2)在ABC中，若basin C，cacos B，则ABC的形状为_解析：(1)依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则sin(BC)sin2A，由三角形内角和得sin(B
10、C)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC为直角三角形(2)由basin C可知sin C，由cacos B可知ca，整理得b2c2a2，即三角形一定是直角三角形，A90，所以sin Csin B，所以BC，即bc.故ABC为等腰直角三角形答案：(1)A(2)等腰直角三角形考点三与三角形面积有关的问题学生用书P70(2014高考浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2Acos
11、2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB.又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a.由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数
12、的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解. 3.在ABC中，已知A45，cos B.(1)求sin C的值；(2)若BC10，求ABC的面积解：(1)因为cos B，且B(0，180)，所以sin B.sin Csin(180AB)sin(135B)sin 135cos Bcos 135sin B.(2)由正弦定理，得，即，解得AB14，则ABC的面积SABBCsin B141042.,学生用书P71)交汇创新解三角形与数列的交汇(2014高考陕西卷)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin Asin C2sin(AC)
13、；(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值解(1)证明：因为a，b，c成等差数列，所以ac2b.由正弦定理得sin Asin C2sin B.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以sin Asin C2sin(AC)(2)因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.由余弦定理得cos B，当且仅当ac时等号成立所以cos B的最小值为.本题是解三角形问题和数列的交汇，其解题思路是由数列问题转化为边角的等式关系，再利用正、余弦定理即可求解本题体现了高考试题的设计理念和意图，在命题上追求知识间的交汇，有时也与不等式、直线、圆等知识交汇命题，注重考查知识应用能力(2016山西省四校联
14、考)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2ccos2b.(1)求证：a、b、c成等差数列；(2)若B，S4，求b.解：(1)证明：由正弦定理得：sin Acos2sin Ccos2sin B，即sin Asin Csin B，所以sin Asin Csin Acos Ccos Asin C3sin B.即sin Asin Csin(AC)3sin B.因为sin(AC)sin B，所以sin Asin C2sin B，即ac2b，所以a、b、c成等差数列(2)因为Sacsin Bac4，所以ac16.又b2a2c22accos Ba2c2ac(ac)23ac，
15、由(1)得ac2b，所以b24b248，所以b216，即b4.1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin Bcsin Casin A，则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形 D直角三角形解析：选B.由正弦定理得b2c2a2，由余弦定理可得cos A0，故ABC是钝角三角形2由下列条件解ABC，其中有两解的是()Ab20，A45，C80Ba30，c28，B60Ca14，c16，A45Da12，c15，A120解析：选C.对于A，由A45，C80，得B55，由正弦定理得，a，c，此时ABC仅有一解，A不符合条件；对于B，由a30，c28，B60，由余弦定理b2
16、a2c22accos B，得b2844，可得b2，此时ABC仅有一解，B不符合条件；对于D，由a12，c15，知ac，则A，又ca，故C45，由正弦函数的图象和性质知，此时ABC有两解，故选C.3(2016东北三校高三模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，sin C3sin B，且SABC，则b()A1 B2C3 D3解析：选A.因为cos A，所以sin A.又SABCbcsin A，所以bc3.又sin C3sin B，所以c3b，所以b1，c3，故选A.4(2016武汉调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2a2bc，A，则角C()A.
17、 B.C. D.或解析：选B.在ABC中，由余弦定理得cos A，即，所以b2c2a2bc，又b2a2bc，所以c2bcbc，所以c(1)bb，ab，所以cos C，所以C.5(2016大连一模)在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高为()A. B.C. D.解析：选B.在ABC中，由余弦定理可得，AC2AB2BC22ABBCcos B，因为AC，BC2，B60，所以7AB244AB，所以AB22AB30，所以AB3，作ADBC，垂足为D，则在RtADB中，ADABsin 60，即BC边上的高为.6(2016哈尔滨一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b1，a2c，
18、则当C取最大值时，ABC的面积为()A. B.C. D.解析：选B.当C取最大值时，cos C最小，由cos C，当且仅当c时取等号，且此时sin C，所以当C取最大值时，ABC的面积为absin C2c1.7在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_解析：在ABC中，由b2a2c22accos B及bc7知，b24(7b)222(7b)，整理得15b600，所以b4.答案：48在ABC中，bccos Aasin C，则角C的大小为_解析：因为bccos Aasin C，由余弦定理得bcasin C.即b2a2c22absin C.所以2abcos C2absin C，即tan C.又0C
19、，所以C.答案：9(2015高考北京卷)在ABC中，a4，b5，c6，则_解析：由正弦定理得，由余弦定理得cos A，因为 a4，b5，c6，所以2cos A21.答案：110在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a2c，则cos A_解析：因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin Bsin Asin C.因为，所以ac2b，又a2c，可得bc，所以cos A.答案：11(2015高考全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.(1)若ab，求cos B；(2)设B9
20、0，且a，求ABC的面积解：(1)由题设及正弦定理可得b22ac.又ab，可得b2c，a2c.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)知b22ac.因为B90，由勾股定理得a2c2b2，故a2c22ac，进而可得ca.所以ABC的面积为1.12(2016洛阳统考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C2cos C20.(1)求角C的大小；(2)若ba，ABC的面积为sin Asin B，求sin A及c的值解：(1)因为cos 2C2cos C20，所以2cos2C2cos C10，即(cos C1)20，所以cos C.又C(0，)，所以C.(2)因为c2a2b22a
21、bcos C3a22a25a2，所以ca，即sin Csin A，所以sin Asin C.因为SABCabsin C，且SABCsin Asin B，所以absin Csin Asin B，所以sin C，由正弦定理得：sin C，解得c1.1(2016河北省衡水中学调研)设锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，)B(1，)C(，2) D(0，2)解析：选A.因为B2A，所以sin Bsin 2A，所以sin B2sin Acos A，所以b2acos A，又因为a1，所以b2cos A.因为ABC为锐角三角形，所以0A，0B，0C，即
22、 0A，02A，0A2A，所以A，所以cos A，所以2cos A，所以b(，)2(2014高考课标全国卷)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_解析：因为2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，所以a2b2c2bc，所以b2c2a2bc.所以cos A，所以A60.因为ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，所以SABCbcsin A4.答案：3在ABC中，内角A，B，C所对的边长分
23、别是a，b，c.(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状解：(1)因为c2，C，所以由余弦定理c2a2b22abcos C，得a2b2ab4.又因为ABC的面积为，所以absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，所以cos A(sin Asin B)0，所以cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，因为0A，所以A，ABC为直角三角形；当sin Asin
24、B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形所以ABC为等腰三角形或直角三角形4(2016杭州严州中学第一次月考)ABC的三内角的对边分别为a，b，c.已知3(cacos B)bsin A.(1)求A；(2)求sin Bsin C的范围；(3)若a2，求ABC周长的范围解：(1)由正弦定理得3sin C3sin Acos Bsin Bsin A，又sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，由得3cos A sin A，即tan A.又A(0，)，所以A.(2)sin Bsin Csinsin Csin Ccos Csin2Csin 2Ccos 2Csin，因为0C，所以2C，所以sin1，所以0a2，则2bc4，所以ABC的周长的范围为(4，6
