1、习题课发展要求与高考对接(三)教学指导意见中的发展要求1能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角2利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角函数问题3会求形如yAsin(x)的函数的单调区间、最值、周期,掌握函数yAcos(x)的图象与函数yAsin(x)的图象的联系4理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法,理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理、正确的分析,能对公式进行简单的逆用5了解和、差、倍角公式的特点,并进行变形应用,理解三角变换的基本特点及基本功能6了解正弦定理与三角形外接圆半径的关系,利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系考点一三角函数的图象与性质学生用书P75(201
2、5高考重庆卷)已知函数f(x)sin 2xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最小值;(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象当x时,求g(x)的值域解(1)f(x)sin 2xcos2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin,因此f(x)的最小正周期为,最小值为.(2)由条件可知g(x)sin.当x时,有x,从而ysin的值域为,那么ysin的值域为.故g(x)在区间上的值域是.解决三角函数的图象和性质的综合问题,一般先由图象或三角公式确定三角函数yAsin(x)b(或yAcos(x)b等)的解析式研究三角函数
3、性质时,需把x看成一个整体. 1.已知函数f(x)sinsin2cos2,xR,0.(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为,求函数yf(x)的单调增区间解:(1)f(x)sin xcos xsin xcos x(cos x1)212sin1.由1sin1,得32sin11,所以函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知,yf(x)的周期为,所以,即2.所以f(x)2sin1,再由2k2x2k(kZ),解得kxk(kZ)所以函数yf(x)的单调增区间为(kZ)考点二解三角形学生用书P75(2015高考天津卷)在ABC中,
4、内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,bc2,cos A.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值解(1)在ABC中,由cos A,可得sin A.由SABCbcsin A3,得bc24.又由bc2,解得b6,c4.由a2b2c22bccos A,可得a8.由,得sin C.(2)coscos 2Acossin 2Asin(2cos2A1)2sin Acos A.在解决三角形与三角恒等变换综合问题时,一般先利用正、余弦定理,边角相互转化,求解三角函数值时通常利用三角恒等变换化成一个角的三角函数求解. 2.(2016郑州第一次质量预测)在ABC中,角A,B,C的对边
5、分别为a,b,c,且满足a2b2c2bc0,2bsin Aa,BC边上中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求ABC的面积解:(1)由a2b2c2bc0得a2b2c2bc,所以cos A,A.由2bsin Aa,得sin B,故B.(2)设ACBCx,得AM2x22x()2,解得x2,故SABC222.考点三三角函数、解三角形与平面向量的综合应用学生用书P76(2014高考辽宁卷)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac,已知2,cos B,b3,求:(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值解(1)由2得cacos B2.又cos B,所以ac6.由余弦定理,得a2
6、c2b22accos B.又b3,所以a2c292613.解得或因为ac,所以a3,c2.(2)在ABC中,sin B ,由正弦定理,得sin Csin B.因为abc,所以C为锐角,因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题. (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响3.已知f(x)ab,其中a(2cos x,sin 2x),b(cos x,1)(xR)(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)在ABC中,角A,
7、B,C的对边分别为a,b,c,f(A)1,a,3,求边长b和c的值(bc)解:(1)由题意知,f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos,所以f(x)的最小正周期T,因为ycos x在2k,2k(kZ)上单调递减,所以令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以f(x)的单调递减区间为,kZ.(2)因为f(A)12cos1,所以cos1.又2A,所以2A.所以A.因为3,即bc6,由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc,7(bc)218,bc5,又bc,所以b3,c2.1已知cossin ,则sin的值是()AB.C D.解析:选C.因为cossin
8、,所以cos sin ,sin,所以sin,所以sinsin.2若cos ,是第三象限角,则()A B.C2 D2解析:选A.因为是第三象限角,cos ,所以sin .所以.3若3sin cos 0,则的值为()A. B.C. D2解析:选A.因为3sin cos 0,所以tan ,.4若ABC的内角A满足sin 2A,则sin Acos A()A. BC. D解析:选A.法一:因为sin 2A2sin Acos A,所以12sin Acos A,即sin2A2sin Acos Acos2A,所以|sin Acos A|.又因为A为锐角,所以sin Acos A,故选A.法二:因为sin 2A
9、0,所以A为锐角,所以sin Acos A0,所以B、D不合题意若sin Acos A,则(sin Acos A)212sin Acos A1sin 2A,所以sin 2A,满足题意,故选A.5已知函数f(x)sin(xR,0)的最小正周期为,为了得到函数g(x)cos x的图象,只要将yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析:选A.因为T,则2,所以f(x)sin.又g(x)cos 2xsin,将yf(x)的图象向左平移个单位长度时,ysinsincos 2x.6(2015高考重庆卷)在ABC中,B120,AB,A的角平分线AD
10、,则AC_解析:如图,在ABD中,由正弦定理,得,所以sinADB.所以ADB45,所以BAD1804512015.所以BAC30,C30,所以BCAB.在ABC中,由正弦定理,得,所以AC.答案:7(2015高考天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(0),xR.若函数f(x)在区间(,)内单调递增,且函数yf(x)的图象关于直线x对称,则的值为_解析:f(x)sin xcos xsin,因为f(x)在区间(,)内单调递增,且函数图象关于直线x对称,所以f()必为一个周期上的最大值,所以有2k,kZ,所以22k,kZ.又(),即2,所以2,所以.答案:8在锐角ABC中,角A、B、C的对
11、边分别为a、b、c.若6cos C,则的值是_解析:由6cos C,得b2a26abcos C.化简整理得2(a2b2)3c2,将切化弦,得.根据正、余弦定理得4.答案:49.已知函数f(x)Asin (x)的图象的一部分如图所示(1)求函数f(x)的解析式;(2)当x时, 求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值解:(1)由题图知A2,T8,因为T8,所以.又图象经过点(1,0),所以2sin0.因为|,所以.所以f(x)2sin.(2)yf(x)f(x2)2sin2sin2sin2cosx.因为x,所以x.所以当x,即x时,yf(x)f(x2)取得最大值;当x,即x4时,y
12、f(x)f(x2)取得最小值2.10(2015高考浙江卷)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan2.(1)求的值;(2)若B,a3,求ABC的面积解:(1)由tan2,得tan A,所以.(2)由tan A,A(0,),得sin A,cos A.由a3,B及正弦定理,得b3.由sin Csin(AB)sin,得sin C.设ABC的面积为S,则Sabsin C9.1已知函数f(x)2cos2x2sin xcos x(xR)(1)当x时,求函数f(x)的单调递增区间;(2)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c3,f(C)2,若向量m(1,sin A)与向量
13、n(2,sin B)共线,求a,b的值解:(1)f(x)2cos2xsin 2xcos 2xsin 2x12sin1,令2k2x2k,kZ,解得kxk,kZ,因为x,所以f(x)的单调递增区间为.(2)由f(C)2sin12,得sin,而C(0,),所以2C,所以2C,解得C.因为向量m(1,sin A)与向量n(2,sin B)共线,所以.由正弦定理得,由余弦定理得c2a2b22abcos,即a2b2ab9.联立,解得a,b2.2(2015高考福建卷)已知函数f(x)10sin cos 10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再向下平移a
14、(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,且函数g(x)的最大值为2.求函数g(x)的解析式;证明:存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0.解:(1)因为f(x)10sin cos 10cos25sin x5cos x510sin(x)5,所以函数f(x)的最小正周期T2.(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y10sin x5的图象,再向下平移a(a0)个单位长度后得到g(x)10sin x5a的图象又已知函数g(x)的最大值为2,所以105a2,解得a13.所以g(x)10sin x8.证明:要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0,就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得10sin x080,即sin x0.由知,存在00,使得sin 0.由正弦函数的性质可知,当x(0,0)时,均有sin x.因为ysin x的周期为2,所以当x(2k0,2k0)(kZ)时,均有sin x.因为对任意的整数k,(2k0)(2k0)201,所以对任意的正整数k,都存在正整数xk(2k0,2k0),使得sin xk.即存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g(x0)0.