1、第5节三角函数的化简与求值考试要求掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.知 识 梳 理1.三角变换三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识.2.三角恒等变换中常用的方法技巧(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是 的半角，是的二倍角，2()()，()等.(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变
2、形中，通常化切为弦，变异名为同名.(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1sin2cos2tan 45sin 90.(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式及其逆用和变形应用.例如sin cos sin 2，tan Atan Btan(AB)(1tan Atan B)等.常用结论与易错提醒(1)辅助角公式：asin bcos sin()，其中角所在象限由a，b的符号确定，且tan .(2)(选用)万能
3、公式：sin ，cos ，tan .(3)(选用)三倍角公式：sin 33sin 4sin3，cos 34cos33cos ，tan 3.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)tan.()(2)在半角公式：sin ，cos ，tan 中，符号由所在象限决定.()(3)tan .()(4)cos sin cos(60).()解析cos sin cos 60cos sin 60sin cos(60)，(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.的值是()A.sin 40 B.cos 40C.cos 130 D.cos 50解析原式|cos 130|cos 50sin 40.答案A3.若co
4、s ，且0，则cos sin 的值是()A. B.C. D.解析0，cos ，sin ，则1sin 1，检验知B符合上式.答案B4.若sin，则tan2x_.解析sin，cos 2x，即cos 2x，tan2x4.答案45.方程sin xcos x1在区间0，2上的所有解的和等于_.解析sin xcos x2sin1，x0，2，解得x1，x22，x1x2.答案6.定义运算abab2a2b，则sin 15cos 15_.解析由定义运算知sin 15cos 15sin 15cos215sin215cos 15sin 15cos 15(cos 15sin 15)2sin 15cos 15sin(45
5、15).答案考点一三角函数式的化简【例1】 化简.解原式tan .规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 化简(sin2cos2).解原式cos 2cos 2cos 2sin 2cos 22sin.考点二三角函数式的求值 多维探究角度1给角求值【例21】 求值：2cos 40sin 10(1tan 10).解原式cos 10cos 102(cos 40cos 10sin 10si
6、n 40)2cos 30.角度2给值求值【例22】 已知，都是锐角，cos ，cos()，求cos 的值.解，都是锐角，cos ，sin ，又0，cos()，sin()，故cos cos()cos()cos sin()sin .角度3给出关系式求值【例23】 已知sin4cos4，求sin 2的值.解sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212sin2cos2，2sin2cos2，sin cos ，sin 22sin cos .角度4给值求角【例24】 若sin 2，sin()，且，求的值.解sin 2，2，cos 2且，又sin()，cos()，cos()cos()2cos(
7、)cos 2sin()sin 2，又，.规律方法(1)给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公因式，注意观察化简、求值；(2)给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系；(3)给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简；(4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值.【训练2】 (1)(角度1)计算：tan 20.(2)(角度2)已知是第一象限角，sin ，求tan 的值.(3)(角度3)已知2sin 1cos ，求tan 的值.(4)(角度4)(一题多解)设cos ，tan ，0，求的值.解(1)tan 20.(2)因为是第一
8、象限角，sin ，所以cos ，所以tan ，tan ，整理得12tan27tan 120，解得tan 或tan (舍去)，故tan .(3)因为2sin 1cos ，所以4sin cos 12sin2，解得sin 0或2cos sin ，tan 0或2，又tan ，当tan 0时，tan 0；当tan 2时，tan .(4)法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由，0可得0，因此.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，0可得0，因此.考点三三角函数恒等式的证明【例3】 证明：2c
9、os().证明左端右端.规律方法(1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形”进行分析消除两端的差异；(2)常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同式子，有时需对要证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式).【训练3】 证明：cos 44cos 238cos4.证明左边cos 44cos 232cos2214cos 232(cos222cos 21)2(cos 21)22(2cos211)22(2cos2)28cos4右边.三角函数求值【例题】 (满分14分)(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角
10、满足sin()，求cos 的值.审题路线图满分解答解(1)由角的终边过点P得sin ，2分所以sin()sin .5分(2)由角的终边过点P得cos ，7分由sin()得cos().10分由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .14分构建模板利用三角函数定义求三角函数 诱导公式计算 平方关系计算 角的变换 利用两角差的余弦公式，分类计算 明确规范的表述结论【训练】 (2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，
11、因此cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以(0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此tan()tan2().基础巩固题组一、选择题1.若cos，则sin 2()A. B. C. D.解析cos，sin 2coscos 2cos2121.答案D2.若sin，则cos()A. B. C. D.解析，cossin，coscos 2cos2121.答案A3.计算()A. B. C. D.解析原式sin 30.答案D4.式子tan 11tan 19tan 11tan 19的值是()A. B. C.0 D.1解析tan 30tan(1119)
12、，tan 11tan 19(1tan 11tan 19)，原式(tan 11tan 19)tan 11tan 19(1tan 11tan 19)tan 11tan 191.答案D5.若，且3cos 2sin，则sin 2的值为()A. B. C. D.解析由3cos 2sin，可得3(cos2sin2)(cos sin )，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，所以sin 2，故选C.答案C6.已知sin ，sin()，均为锐角，则角()A. B. C. D.解析因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos(
13、)cos sin().所以.答案C二、填空题7.已知sincos ，则sin_.解析sincos cos sin cos sin，sin.答案8.求值：tan 10_.解析原式.答案9.已知，cos()，sin()，则sin 2的值是_.解析，0，cos()，sin()，sin()，cos()，sin 2sin.答案10.已知sin(x20)cos(x10)cos(x10)，则tan x的值是_.解析sin(x20)cos(x10)cos(x10)，sin xcos 20cos xsin 202cos xcos 10，tan x2cos 30.答案三、解答题11.求值：cos cos cos
14、cos cos cos cos .解原式sin cos cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin .12.已知cos，x，求的值.解sin 2xsin 2xtan .由x，得x2，又cos，所以sin，tan .cos xcos，sin x，tan x7，sin 2x2sin xcos x.所以.能力提升题组13.已知cos()，cos()，则tan tan 的值为()A. B. C. D.解析因为cos()，所以
15、cos cos sin sin .因为cos()，所以cos cos sin sin .得cos cos .得sin sin .所以tan tan .答案B14.已知x，y，且xtan y2(1cos x)，则()A.y B.yC.yx解析x，y，0sin xxtan x，又xtan y2(1cos x)tan y，因此tan y2tan ，tan y2tan ，2tan 2tan y2cos xtan ，函数y2cos x在区间上单调递减，2cos x(，2)，tan y2cos xtan tan ，y，yx，故选C.答案C15.如果cos5sin57(sin3cos3)，0，2)，那么的取
16、值范围是_.解析不等式cos5sin5cos3cos5，又f(x)x3x5是R上的增函数，所以sin cos ，故有2k0，f(ax)(ax)2a(ax)1x2ax1，f(ax)(ax)23a(ax)2a21x2ax1，所以函数f(x)的图象关于直线xa对称，又因为当xa时，f(x)x2ax11，且a0，所以函数f(x)在(a，)上单调递增，则由f(sin )f(cos )得asin，又因为，所以，则asin.答案17.已知tan()，tan().(1)求tan()的值；(2)求tan 的值.解(1)因为tan()，所以tan ，从而有tan().(2)tan tan().18.已知，且7sin 5sin (2)，(1)求证：tan()6tan ；(2)若tan 3tan ，求的值.(1)证明因为7sin 5sin(2)，7sin()5sin()，得7sin()cos cos()sin 5sin()cos cos()sin ，即sin()cos 6cos()sin .又因为，则(0，)，cos 0，cos()0，所以tan()6tan .(2)解由上可知tan()6tan ，即6tan .又因为tan 3tan ，代入得6tan ，解得tan 1或tan 1(舍)或tan 0(舍)，故.
