1、第4节绝对值不等式及其应用考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.知 识 梳 理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不
2、等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立；(2)|a|b|ab|a|b|；(3)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.常用结论与易错提醒1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成
3、立的条件.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()解析(1)当c0时，x0；(3)当a0b且|a|b|时，等号成立；(4)当ab0且|a|b|时，等号成立.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(2020杭州四中仿真)已知xR，则“|x3|x1|2”是“x1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析|x3|
4、x1|2等价于或或解得x1，所以“|x3|x1|2”是“x1”的充分不必要条件，故选A.答案A3.若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A.5或8 B.1或5C.1或4 D.4或8解析分类讨论：当a2时，f(x)显然，x时，f(x)min1a3，a4，当a2时，f(x)显然x时，f(x)min1a3，a8.答案D4.设xR，不等式|x|2x1|2的解集为_.解析当x2，解得x2，即x时，原不等式可化为x2x12，解得x1.综上，原不等式的解集为.答案5.若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.解析设y|2x1|x2|当x2时，y3x1
5、5；当2x时，5yx3；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故实数a的取值范围为.答案6.设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，则不等式f(x)3x2的解集为_.(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，则a的值为_.解析(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故当a1时，不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1.(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为.由题设可得1，故a2.答案(1)
6、x|x3或x1(2)2考点一含绝对值不等式的解法【例1】 (一题多解)解不等式|x1|x2|5.解法一如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，).法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集为(，32，).法三将原不等式转化为|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，则f(x)作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x(，32，)时
7、，y0，原不等式的解集为(，32，).规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.【训练1】 已知函数f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式f(x)1的解集为_；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，则m的取值范围为
8、_.解析(1)f(x)当x2时，f(x)31恒成立.故f(x)1的解集为1，).(2)不等式f(x)x2xm等价于f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x有解.又|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|，当且仅当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围是.答案(1)1，)(2)考点二利用绝对值不等式求最值(或范围)【例2】 (1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y
9、1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.【训练2】 (1)若关于x的不等式|2 018x|2 019x|d有解，求实数d的取值范围；(2)不等式|a2|sin y对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围.解(1)|2 018x|2 019x|2 018x2 019x|1，关于x的不等式|2 018x|2 019x|d有解时，d1.(2)x(，22，)，
10、2，)，其最小值为2.又sin y的最大值为1，故不等式|a2|sin y恒成立时，有|a2|1，解得a1，3.考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3.(2)f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).规律方法(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数
11、形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.【训练3】 (2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.基础巩固题组一、选择题1.函数y|x1|x3|的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析y|x1|x3|(x1)(x3)|4.答案D2.对任何实数x，若不等式|x1|x2|k恒成立，则实数k的取值范
12、围为()A.(，3) B.(，3)C.(，3 D.(，3解析|x1|x2|(x1)(x2)|3，3|x1|x2|3，由题意得3k.答案B3.不等式|x5|x3|10的解集是()A.5，7 B.4，6C.(，57，) D.(，46，)解析|x5|x3|表示数轴上的点到3，5的距离之和，不等式|x5|x3|10的解集是(，46，).答案D4.(2020浙江三校三联)已知aR，则“a2”是“|x1|x1|a恒成立”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为|x1|x1|x1(x1)|2，所以不等式|x1|x1|a恒成立等价于a2，所以“a2”是“|x1
13、|x1|a”的充要条件，故选C.答案C5.若关于x的不等式|xt22|xt22t1|0时，因为|xt22|xt22t1|xt22(xt22t1)|2t1，要使原不等式无解，则需3t2t1，解得0f()，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)，且f(x)在(0，)上单调递减.由f(2|a1|)f()，f()f()可得2|a1|，即|a1|，所以a.答案C7.设x，yR，下列不等式成立的是()A.1|xy|xy|x|y|B.12|xy|x|y|C.12|xy|x|y|D.|xy|2|xy|x|y|解析对于B，令
14、x100，y100，不成立；对于C，令x100，y，不成立；对于D，令x，y，不成立，故选A.答案A8.已知f(x)2x24x1，设有n个不同的数xi(i1，2，n)满足0x1x2xn3，则满足|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|M的M的最小值是()A.10 B.8 C.6 D.2解析f(x)2x24x12(x1)23，f(x)在0，1上单调递减，且f(x)3，1，f(x)在1，3上单调递增，且f(x)3，5.|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x3)|f(xn1)f(xn)|f(0)f(1)|f(1)f(3)|2810M，故M的最小值为10.答案A9.若不
15、等式|2x1|xa|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析当a时，|2x1|xa|当x时，取最小值为a.不等式|2x1|xa|a对任意的实数x恒成立，aa，a，时，同理可得x时，|2x1|xa|最小值为a，不等式|2x1|xa|a对任意的实数x恒成立，aa恒成立，aa.(1)若不等式有解，则实数a的取值范围为_.(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为_.解析由|x1|x3|x1(x3)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则a4；(2)若不等式的解集为R，则a4.答案(1)(，4)(2)(，4)能力提升题组15.若a，b，cR，且|a|1，
16、|b|1，|c|1，则下列说法正确的是()A.B.C.D.以上都不正确解析由题意知，1abbcca3，对于A，显然不等式成立.对a，b，c分别取特殊值，取a1，b0，c1，排除C.取a1，b1，c0，排除B，故选A.答案A16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，若任意xR，f(x1)f(x)，则实数a的取值范围为()A. B.C. D.解析因为当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2x2a2时，f(x)(xa22a2x3a2)a2；当x2a2时，f(x)(xa2x2a23a
17、2)x3a2.综上，函数f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0时的解析式等价于f(x)因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使任意xR，f(x1)f(x)，则需满足2a2(4a2)1，解得a.答案B17.(2017浙江卷)已知aR，函数f(x)|xa|a在区间1，4上的最大值是5，则a的取值范围是_.解析当x1，4时，x4，5，下面对a分三种情况讨论：当a5时，f(x)axa2ax，函数的最大值为2a45，解得a(舍去)；当a4时，f(x)xaax5，此时满足题意；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则或解得a或4a.
18、综上，a的取值范围是.答案18.x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_.解析由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点x到0，1对应点的距离之和，所以|x|x1|1，当且仅当x0，1时取“”.同理|y|y1|1，当且仅当y0，1时取“”.|x|y|x1|y1|2.而|x|y|x1|y1|2，|x|y|x1|y1|2，此时x0，1，y0，1，(xy)0，2.答案0，219.已知函数f(x)bxc.x1，2，记|f(x)|的最大值为M，若对于任意的正实数a，b，c，M的最小值为，则M取最小值时，c_.解析由条件知于是4M|abc|2|2c|341，此时得b，解得b，a32，此时|abc|2c|c(34)，解得c3.答案320.已知a(cos ，sin )，b(sin ，cos )，且.若c满足|cab|2，则的取值范围是_.解析因为(ab)222(cos sin sin cos )22sin()3，即|ab|.又|c|ab|c(ab)|c|ab|，则解得2|c|2，故2，2.答案2，2