1、第二章 数列 2.2 等差数列 第2课时 等差数列的性质 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点)2能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点)1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养2借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1等差数列的图象等差数列的通项公式 ana1(n1)d，当 d0 时，an 是一个固定常数；当 d0 时，an 相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点d思考：由上式可得 dana1n1，danamnm，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意
2、义吗？提示 等差数列的通项公式可以变形为 annd(a1d)，是关于 n 的一次函数，d 为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率 dana1n1，当两点为(n，an)，(m，am)时有 danamnm.2等差数列的性质(1)an是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 mnpq，则 aman 特别地，当 mn2k(m，n，kN*)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的，即 a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为 数列apaq和等差(3)若an是公差为 d 的等差数列，则c
3、an(c 为任一常数)是公差为 的等差数列；can(c 为任一常数)是公差为 的等差数列；anank(k 为常数，kN*)是公差为 的等差数列(4)若an，bn分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列panqbn(p，q 是常数)是公差为 的等差数列(5)an的公差为 d，则 d0an为 数列；d0an为 数列；d0an为常数列dcd2dpd1qd2递增递减思考：若an为等差数列，且 amanapaq，则 mnpq 一定成立吗？提示 不一定如常数列an，a1a2a3a4，但 1234.C a1a7a3a510.1在等差数列an中，a3a510，则 a1a7 等于()A.5 B8C.10 D
4、14A a100a9010d，10d20，即 d2.2等差数列an中，a100120，a90100，则公差 d 等于()A.2 B20C.100 D不确定33 由题意得 da8a585 15685 3.a14a86d151833.3 在 等 差 数 列 an 中，若a5 6，a8 15，则a14 15 由等差数列的性质得 a7a9a4a1216，又a41，a1215.4 已 知 等 差 数 列 an 中，a7 a9 16，a4 1，则 a12 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求这四个数灵活的设元解等差数列解 法一：(设四个变量)
5、设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意，得bacbdc，abcd26，bc40，解得a2，b5，c8，d11或a11，b8，c5，d2，这四个数分别为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为 a1，公差为 d，根据题意，得a1（a1d）（a12d）（a13d）26，（a1d）（a12d）40，化简，得4a16d26，a213a1d2d240，解得a12，d3或a111，d3，这四个数分别为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为 a3d，ad，ad，a3d，根据题意，得（a3d）（ad）（ad）（a3d）26，
6、（ad）（ad）40，化简，得4a26，a2d240，解得a132，d32这四个数分别为 2，5，8，11 或 11，8，5，2.1当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为 a1，公差为 d，利用已知条件建立方程组求出 a1 和 d，即可确定数列2当已知数列有 2n 项时，可设为 a(2n1)d，a3d，ad，ad，a3d，a(2n1)d，此时公差为 2d.3当已知数列有 2n1 项时，可设为 and，a(n1)d，ad，a，ad，a(n1)d，and，此时公差为 d.跟进训练1已知五个数成等差数列，它们的和为 5，平方和为859，求这 5个数解 设第三个数为 a，公差为 d，
7、则这 5 个数分别为 a2d，ad，a，ad，a2d.由已知有（a2d）（ad）a（ad）（a2d）5，（a2d）2（ad）2a2（ad）2（a2d）2859，整理得5a5，5a210d2859 解得 a1，d23.当 d23时，这 5 个数分别是13，13，1，53，73；当 d23时，这 5 个数分别是73，53，1，13，13.综上，这 5 个数分别是13，13，1，53，73或73，53，1，13，13.【例 2】甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个养鸡场出产 2 万只
8、鸡乙调查表明：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个等差数列的实际应用甲 乙请你根据提供的信息回答问题(1)第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第 6 年这个县的养鸡业规模比第 1 年是扩大了还是缩小了？请说明理由思路探究：解决本题关键是构造两个数列：一个是每年的养鸡只数的平均值构成的数列，一个是每年的养鸡场的个数构成的数列解 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为 d1，且 a11，a62；从第 1 年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为 d2，且 b130，b610；从第 1 年到第 6
9、 年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则 cnanbn.(1)由 a11，a62，得a11，a15d12，a11，d10.2，得 a21.2；由 b130，b610，得b130，b15d210，b130，d24，得 b226.c2a2b21.22631.2，即第 2 年养鸡场有 26 个，全县出产鸡 31.2 万只(2)c6a6b621020c1a1b130，到第 6 年这个县的养鸡业规模比第 1 年缩小了1在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决2在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量跟
10、进训练2某市出租车的计价标准为 1.2 元/km，起步价为 10 元，即最初的 4 km(不含 4 km)计费 10 元如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为 0，需要支付车费 元232 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加 1 km，乘客需要多支付 1.2 元所以可以建立一个等差数列an来计算车费令 a111.2，表示 4 km 处的车费，公差 d1.2，那么当出租车行至 14 km 处时，n11，此时需要支付车费 a1111.2(111)1.223.2(元).探究问题1在等差数列an中，若 an3n1，那么 a1a5a2a4 吗？
11、a2a5a3a4 成立吗？由此你能得到什么结论？该结论对任意等差数列都适用吗？为什么？等差数列的性质提示 由 an3n1 可知 a1a5a2a4 与 a2a5a3a4 均成立，由此有若 m，n，p，qN*且 mnpq，则 amanapaq.对于任意等差数列an，设其公差为 d.则 amana1(m1)da1(n1)d2a1(mn2)d，apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq2)d，因为 mnpq，故 amanapaq 对任意等差数列都适用2在等差数列an中，如果 mn2r，那么 aman2ar 是否成立？反过来呢？提示 若 mn2r(m，n，rN*)，则 amana1(m1)da1(
12、n1)d2a1(mn2)d2a1(2r2)d2a1(r1)d2ar，显然成立；在等差数列an中，若 aman2ar，不一定有 mn2r，如常数列3已知一个无穷等差数列an的首项为 a1，公差为 d，则：(1)若将数列中的前 m 项去掉，其余各项组成一个新数列，这个新数列还是等差数列吗？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？(3)如果取出数列中所有序号为 7 的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列还是等差数列吗？提示(1)、(2)、(3)中所得到的数列都还是等差数列，其中(1)中的公差为 d，(2)中的公差为 2d，(3)中的公差为 7d.【例 3】(1)已
13、知等差数列an中，a2a46，则 a1a2a3a4a5()A.30 B15 C5 6 D10 6(2)已知an为等差数列，a158，a6020，求 a75.思路探究：(1)利用等差数列的性质求解(2)选用哪条性质求解更为简便？a15，a30，a45，a60，a75 成等差数列吗？(1)B 数列an为等差数列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a352(a2a4)52615.(2)解 法一：(利用隔项成等差数列)因为an为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项，所以a60a153d，得d4，所以a75a60d24.
14、法二：(利用首项与公差)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d.a60a1545d，所以 20845d，所以 d 415，a75a1560d860 41524.1(变条件，变结论)本例(2)中条件变为“在等差数列an中，若a58，a1020”，求 a15.解 法一：因为 a5，a10，a15 成等差数列，所以 a5a152a10.所以 a152a10a5220832.法二：因为an为等差数列，设其公差为 d，所以 a10a55d，所以 2085d，所以 d125.所以 a15a105d205125 32.2本例(2)中的条件变为“an，bn都是等差数列，若 a1b17，a3b321”求 a5
15、b5 的值解(1)法一：设数列an，bn的公差分别为 d1，d2，因为 a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以 d1d27，所以 a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)，2217a5b5，a5b535.等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件，列出关于 a1，d 的方程(组)，确定 a1，d，然后求其他量(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足 mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，则 amanapaq2ar.易错警示：
16、对于新构造的等差数列，要注意判断其公差和首项课 堂 小 结 提 素 养 1在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列2在等差数列an中，首项 a1 与公差 d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d 的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量1判断正误(1)若an是等差数列，则|an|也是等差数列()(2)若|an|是等差数列，则an也是等差数列()(3)若an是等差数列，则对任意 nN*都有 2an1anan2.()(4)数列an的通项公式为 an3n5，则数列an的公差
17、与函数 y3x5 的图象的斜率相等()答案(1)(2)(3)(4)提示(1)错误，如2，1，0，1，2 是等差数列，但其绝对值就不是等差数列(2)错误，如数列1，2，3，4，5 其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列(3)正确，根据等差数列的通项可判定对任意 nN*都有 2an1anan2 成立(4)正确因为 an3n5 的公差 d3，而直线 y3x5 的斜率也是 3.C a3a11a5a92a7，a3a5a7a9a115a7100，a720.3a9a133(a72d)(a76d)2a740.2在等差数列an中，若 a3a5a7a9a11100，则 3a9a13的值为()A.20 B30 C
18、40 D5018 a4a7a103a717，a7173.又a4a5a13a1411a977，a97.3已知数列an是等差数列，若 a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477 且 ak13，则 k 故 da9a797 7173223.aka9(k9)d13，137(k9)23，k18.4已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数解 法一：设这三个数为 a，b，c(abc)，则由题意得2bac，abc18，a2b2c2116，解得a4，b6，c8.法二：设这三个数为 ad，a，ad，由已知得（ad）a（ad）18，（ad）2a2（ad）2116，由得 a6，代入得 d2，该数列是递增的，d2，这三个数为 4，6，8.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
