1、第2节二次函数考试要求1.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；2.能解决一元二次方程根的分布问题；3.能解决二次函数的最值问题.知 识 梳 理1.二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0).(2)顶点式：ya(xh)2k(其中a0，顶点坐标为(h，k).(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标).2.二次函数yax2bxc的图象和性质a0a0)，则二次函数f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴与区间的关系mn，即(n，)mn，即(m，n)mn，即(，m
2、)图象最值f(x)maxf(m)，f(x)minf(n)f(x)maxmaxf(n)，f(m)，f(x)minff(x)maxf(n)f(x)minf(m)4.一元二次方程根的分布设方程ax2bxc0(a0)的不等两根为x1，x2且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1k，x2k，x2k一个根小于k，一个大于k，即x1k0)综合结论(不讨论a)af（k）0表二：（根在区间上的分布）分布情况两根都在（m，n）内两根都在区间（m，n）外
3、（x1n）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，mnp0）综合结论（不讨论a）若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论：当0时，由0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；当f（m）0或f（n）0，方程有一根为m或n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间（m，n）内；当f（m）f（n）0（0对任意实数x恒成立或（2）不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.（1）如果二次函数f（x）的图象开口向上且关于直线x1对称，且过点（0，0），则此二次函数的解析式为f（x）（x1）21.
4、（）（2）已知函数f（x）ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是.（）（3）二次函数yax2bxc（xR）不可能是偶函数.（）（4）二次函数yax2bxc（xa，b）的最值一定是.（）答案（1）（2）（3）（4）2.已知f（x）x2pxq满足f（1）f（2）0，则f（1）的值是（）A.5 B.5 C.6 D.6解析由f（1）f（2）0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f（x）x23x2，f（1）6.答案C3.若方程x2（m2）xm50只有负根，则m的取值范围是（）A.4，） B.（5，4C.5，4 D.（5，2）解析由题意得解得m4.答案A4.已知函数yx22x3在闭区
5、间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为（）A.0，1 B.1，2C.（1，2 D.（1，2）解析画出函数yx22x3的图象（如图），由题意知1m2.答案B5.已知方程x2（m2）x2m10的较小的实根在0和1之间，则实数m的取值范围是.解析令f（x）x2（m2）x2m1.由题意得 即解得m0，二次函数f（x）ax2bxc的图象可能是（）（2）若函数f（x）ax22x3在区间4，6上是单调递增函数，则实数a的取值范围是.解析（1）由A，C，D知，f（0）c0，所以ab0，知A，C错误，D满足要求；由B知f（0）c0，所以ab0，所以对称轴x0时，函数f（x）在区间1，2上是增函数，最大
6、值为f（2）8a14，解得a；（3）当a0时，函数f（x）在区间1，2上是减函数，最大值为f（1）1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.【例32】 将例31改为：求函数f（x）x22ax1在区间1，2上的最大值.解f（x）（xa）21a2，f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa，（1）当a时，f（x）maxf（2）4a5；（2）当a，即a时，f（x）maxf（1）22a.综上，f（x）max规律方法研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练3】 设函数f（x）x22x2，xt，t1，tR，求函数f（x）的最小值.解f
7、（x）x22x2（x1）21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图（3）所示，函数f（x）在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f（t）t22t2.综上可知，f（x）min考点四一元二次方程根的分布 多维探究角度1两根在同一区间【例41】 若二次函数yx2mx1的图象与两端点为A（0，3），B（3，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围.解线段AB的方程为1（x0，3），即y3x（x0，3），由题意得方程组：消去y得x2（m1）x40，由题意可得，方程在x0，3内有两个不同的实根，令f（x）x2（m1）x4，则解得所以3m.故实数m的取值范围是
8、.角度2两根在不同区间【例42】 求实数m的取值范围，使关于x的方程x22（m1）x2m60.（1）一根大于1，另一根小于1；（2）两根，满足014；（3）至少有一个正根.解令f（x）x22（m1）x2m6，（1）由题意得f（1）4m50，解得m.即实数m的取值范围是.（2）解得所以m.故实数m的取值范围是.（3）当方程有两个正根时，解得3m1.当方程有一个正根一个负根时，f（0）2m60，解得m3.当方程有一个根为零时，f（0）2m60，解得m3，此时f（x）x28x，另一根为8，满足题意.综上可得，实数m的取值范围是（，1）.角度3在区间（m，n）内有且只有一个实根【例43】 已知函数f（
9、x）mx22x1有且仅有一个正实数的零点，求实数m的取值范围.解依题意，得（1）（2）（3）解得m1，经验证，满足题意.又当m0时，f（x）2x1，它显然有一个为正实数的零点.综上所述，m的取值范围是（，01.规律方法利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤：（1）设出对应的二次函数；（2）利用二次函数的图象和性质列出等价不等式（组）；（3）解不等式（组）求得参数的范围.【训练4】 （1）已知二次函数y（m2）x2（2m4）x（3m3）与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.（2）若关于x的方程x22（m1）x2m60有且只有一根在区间（0，3）内，求实数m的取值范围.
10、解（1）令f（x）（m2）x2（2m4）x（3m3）.由题意可知（m2）f（1）0，即（m2）（2m1）0，所以2m.即实数m的取值范围是.（2）令f（x）x22（m1）x2m6，解得所以m1.f（0）f（3）（2m6）（8m9）0，解得3m.f（0）2m60，即m3时，f（x）x28x，另一根为8（0，3），所以舍去；f（3）8m90，即m时，f（x）x2x，另一根为（0，3），满足条件.综上可得，3f（1），则（）A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af（1），所以函数图象应开口向上，即a0，且其对称轴为x2，即2，所以4ab0.答案A2.设二次函数f（x）ax22axc在区间0，
11、1上单调递减，且f（m）f（0），则实数m的取值范围是（）A.（，0 B.2，）C.（，02，） D.0，2解析f（x）的对称轴为x1，由f（x）在0，1上递减知a0，且f（x）在1，2上递增，f（0）f（2），f（m）f（0），结合对称性，0m2.答案D3.若函数f（x）x2axa在区间0，2上的最大值为1，则实数a（）A.1 B.1C.2 D.2解析函数f（x）x2axa的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得.f（0）a，f（2）43a，或解得a1.答案B4.（2019浙江新高考仿真卷四）设函数f（x）sin2xacos xb在上的最大值是M，最小值是m，则Mm（）A.与a
12、有关，且与b有关B.与a有关，且与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，且与b有关解析令tcos x，则g（t）t2atb1（0t1），由题意，当0，即a0时，g（0）为最大值，g（1）为最小值，此时Mm1a；当1，即a2时，g（0）为最小值，g（1）为最大值，此时Mma1；当1，即1a2时，M取g，m取g（0），此时Mm；当0，即0a1时，M取g，m取g（1），此时Mm1a.综上所述，Mm与a有关，但与b无关，故选B.答案B5.（2019北京通州区三模）设函数f（x）则下列结论中正确的是（）A.对任意实数a，函数f（x）的最小值为aB.对任意实数a，函数f（x）的最小值都不是aC.当且
13、仅当a时，函数f（x）的最小值为aD.当且仅当a时，函数f（x）的最小值为a解析因为f（x）当xa时，f（x）ex单调递增，此时0f（x）ea；当xa时，f（x）x2xaa；（1）若a，则f（x）a0，此时f（x）值域为（0，），无最小值；（2）若a，则f（x）mina0，此时f（x）的值域为；此时最小值为a.答案D6.若函数f（x）x2kxm在a，b上的值域为n，n1，则ba（）A.既有最大值，也有最小值B.有最大值但无最小值C.无最大值但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析取km0，f（x）x2，由图象可知，当a时，ba越来越小，显然ba不存在最小值.f（a）a2kam，f（b）b2kb
14、m，fkm，f（a）f（b）2fn1n12n2，ba2，当b，a时，ba取得最大值为2，故选B.答案B7.（2016浙江卷）已知函数f（x）x2bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析f（x）x2bx，当x时，f（x）min.又f（f（x）（f（x）2bf（x），当f（x）时，f（f（x）min，当时，f（f（x）可以取到最小值，即b22b0，解得b0或b2，故“b0”是“f（f（x）的最小值与f（x）的最小值相等”的充分不必要条件.答案A8.设函数f（x）x2axb（a，bR），
15、记M为函数y|f（x）|在1，1上的最大值，N为|a|b|的最大值（）A.若M，则N3 B.若M，则N3C.若M2，则N3 D.若M3，则N3解析由题意得|f（1）|1ab|M|ab|M1，|f（1）|1ab|M|ab|M1.|a|b|则易知NM1，则A，B不符合题意；当a2，b1时，M2，N3，则C符合题意；当a2，b2时，M3，N4，则D不符合题意，故选C.答案C9.（2019北京东城区二模）在交通工程学中常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）为单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）为单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）为单位长度道路上某一瞬间所存
16、在的车辆数.一般的V和K满足一个线性关系，即Vv0（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A.随着车流密度增大，车流速度增大B.随着车流密度增大，交通流量增大C.随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D.随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小解析由Vv0，得Kk0V，由单位关系得QVKVV2k0V，可以是看成是Q与V的二次函数，开口向下，图象先增大，再减小，所以随着车流速度V的增大，交通流量Q先增大、后减小.答案D二、填空题10.已知b，cR，函数yx22bxc在区间（1，5）上有两个不同的零点，则f（1）f（5）的取值范围是.解析设f（x）的两个零点为x1，x2，不妨设1x1x2
17、f（x1）0，f（5）f（x2）0，所以f（1）f（5）0.另一方面f（x）（xx1）（xx2），所以f（1）f（5）（1x1）（1x2）（5x1）（5x2）2x1x26（x1x2）262x1x212262（3）282（3）2816，所以f（1）f（5）的取值范围是（0，16）.答案（0，16）11.已知f（x）若存在实数t，使函数yf（x）a有两个零点，则t的取值范围是.解析由题意知函数f（x）在定义域上不单调，如图，当t0或t1时，f（x）在R上均单调递增，当t0时，在（，t）上f（x）单调递增，且f（x）0，在（0，）上f（x）单调递增，且f（x）0.故要使得函数yf（x）a有两个零点，
18、则t的取值范围为（，0）（0，1）.答案（，0）（0，1）12.已知a，b都是正数，a2bab2abab3，则2abab的最小值等于.解析设2ababt，则t0，且3ab（ab）ababab（t2ab）tab，故关于ab的二次方程2（ab）2（1t）ab3t0的解为正数，所以解得43t3，即2abab的最小值等于43.答案4313.已知f（x1）x25x4.（1）f（x）的解析式为；（2）当x0，5时，f（x）的最大值和最小值分别是.解析（1）f（x1）x25x4，令x1t，则xt1，f（t）（t1）25（t1）4t27t10，f（x）x27x10.（2）f（x）x27x10，其图象开口向上，
19、对称轴为x，0，5，f（x）minf，又f（0）10，f（5）0.f（x）的最大值为10，最小值为.答案（1）x27x10（2）10，14.（2018浙江卷）已知R，函数f（x）当2时，不等式f（x）0的解集是.若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是.解析若2，则当x2时，令x40，得2x4；当x2时，令x24x30，得1x2.综上可知1x4，所以不等式f（x）0的解集为（1，4）.令x40，解得x4；令x24x30，解得x1或x3.因为函数f（x）恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知14. 答案（1，4）（1，3（4，）能力提升题组15.函数f（x）ax2bxc（a0）的图象关于直线
20、x对称.据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程mf（x）2nf（x）p0的解集不可能是（）A.1，2 B.1，4C.1，2，3，4 D.1，4，16，64解析f（x）ax2bxc（a0）的对称轴为x.设方程mf（x）2nf（x）p0的解为f1（x），f2（x），则必有f1（x）y1ax2bxc，f2（x）y2ax2bxc，那么从图象上看yy1，yy2是平行x轴的两条直线，它们与f（x）有交点，由对称性，方程y1ax2bxc0的两个解x1，x2应关于对称轴x对称，即x1x2，同理方程y2ax2bxc0的两个解x3，x4也关于对称轴x对称，即x3x4，在C中，可以找到对称
21、轴直线x2.5，也就是1，4为一个方程的根，2，3为一个方程的根，而在D中，找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎样分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和，故答案D不可能.答案D16.（2019浙江名师预测卷五）二次函数f（x）ax2bxc，a为正整数，若f（0）2，f（2）2，f（x）有两个小于2的不等正零点，则a的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6解析因为a为正整数，所以当a越大时，yf（x）的图象的开口越小，当a越小时，yf（x）的图象的开口越大，结合二次函数图象的对称性知，当yf（x）的图象的开口最大时，yf（x）的图象过（0，2），（2，2）两点，a的取值符合
22、题意，则c2，4a2bc2，1，可得b2a，又b24ac0，解得a2，因为a为正整数，所以a的最小值为3，故选A.答案A17.（2020嘉兴检测）若f（x）x2bxc在（m1，m1）内有两个不同的零点，则f（m1）和f（m1）（）A.都大于1 B.都小于1C.至少有一个大于1 D.至少有一个小于1解析设函数f（x）x2bxc的两个零点为x1，x2，则f（x）（xx1）（xx2），因为函数f（x）x2bxc的两个零点在（m1，m1）内，所以f（m1）0，f（m1）0，又因为f（m1）f（m1）（m1x1）（m1x2）（m1x1）（m1x2）（m1x1）（m1x1）（m1x2）（m1x2）0，函数
23、f（x）|x2|xa|3|在1，1上的最大值是2，则a.解析由题意知f（0）2，即有|a|3|2，又a0，|a|3|2|a3|21a5.又x1，1，f（x）|x2x3a|2，设tx2x3，则t，则原问题等价于t时，|ta|t（a）|的最大值为2，a3或a.答案3或19.（2020杭州学军中学模拟）已知函数f（x）x2txt（t0），若x1，0时，f（x）max2，则t；记集合Ax|f（x）0，若AZ（Z为整数集）中恰有一个元素，则t的取值范围为.解析因为t0，所以当x1，0时，由0，得f（x）maxf（1）1tt2，解得t，因为AZ中恰有一个元素，所以t24（t）0，解得t0或t4，又因为t0，所以t4，则f（1）10，f（2）4t0，则f（3）92t0，解得t，即t的取值范围为.答案20.已知函数f（x）ax3|2x2（4a）x1|的最小值为2，则a.解析令g（x）2x2（4a）x10，（4a）280，则g（x）0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2（x1x2），则x1，x2，当xx1，x2时，f（x）ax32x2（4a）x12x2（2a4）x4，当x（，x1）（x2，）时，f（x）ax32x2（4a）x12（x1）20，因为f（x）的最小值为2，则f（x）minminf（x1），f（x2），即ax132或ax232，解得a.答案
