1、宁夏六盘山高级中学2019-2020学年第一学期高二期中测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，且，则下列不等式成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质可得正确，通过取特殊值即可得错误.【详解】，但是不成立，故不正确；，但是不成立,故不正确；，正确；时，不成立，故选.【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常
2、见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性2.在数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得的值.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.3.在中，角的对边分别为，若，则A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 解的个数无法确定【答案】C【解析】【分析】求得，根据，即可判定有两解，得到答案.【详解】由题意，因为，又由，且，所以有两解.【点睛】本题主要考查了三角形解的个数的判定，以及正弦定理的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.在等比数列中，则其公比为
3、A. B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为在等比数列中，所以，解得.故选C【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，熟记等比数列的性质即可，属于基础题型.5.在中，角、的对边分别为、，若，则的形状为（ ）A. 正三角形B. 等腰三角形或直角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和余弦定理可得出、所满足的等式，进而可判断出的形状.【详解】，由正弦定理和余弦定理得，变形整理得，即，即，即，或，因此，是等腰三角形或直角三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理和
4、余弦定理边角互化思想的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设，满足约束条件，则目标函数的最大值是（ ）A. 3B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，结合图形找出最优解，从而求出目标函数的最大值【详解】作出不等式组对应的平面区域，如阴影部分所示；平移直线，由图像可知当直线经过点时，最大，解得，即，所以的最大值为1故答案为选C【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，也考查了数形结合的解题思想方法，属于基础题7.已知正数、满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析
5、】【分析】将代数式和相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.【详解】正数、满足，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，涉及的妙用，考查计算能力，属于基础题.8.给出下列三个命题：若，则或的逆命题；若，则的逆否命题；若、，是奇数，则、中一个是奇数，一个是偶数.其中真命题的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】写出原命题的逆命题，并判断其逆命题的真假，可判断命题的正误；直接判断原命题的真假，可得出其逆否命题的真假，可判断命题的正误；直接判断原命题的真假，可判断命题的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题，原命题的逆命题为“
6、若或，则”，该命题为真命题，命题为真命题；对于命题，命题“若，则”，其逆否命题也真命题，命题为真命题；对于命题，命题“若、，是奇数，则、中一个是奇数，一个是偶数”，该命题为真命题，命题为真命题.因此，真命题的个数为.故选：C.【点睛】本题考查四种命题真假的判断，涉及原命题与逆否命题真假性一致的应用，考查推理能力，属于基础题.9.“函数在区间上单调递增”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据二次函数在区间上单调递增，求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直
7、线.由于该函数在区间上单调递增，则，解得.，因此，“函数在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，在涉及参数问题时，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.10.已知的内角、的对边分别为、，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用正弦定理边角互化思想和两角和的正弦公式求出的值，然后利用余弦定理求出的值.【详解】，由正弦定理边角互化思想得，即，即，可得出，由余弦定理得，因此，故选B.【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，同时也考查了正弦定理边角互化思想的应用，也要注意两角和的正弦公式
8、的内角和定理的应用，属于中等题.11.等差数列的首项为2，公差不等于0，且，则数列的前2019项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件求出公差，得到，再由裂项相消法即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，可得，所以，因此，所以，所以 .故选B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、以及裂项相消法求数列的和，熟记公式即可，属于常考题型.12.若存在，使不等式成立，则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论最大值，从而求出的取值范围.【详解】令，对称轴方程为，若存在，使不等式成
9、立，等价于，当时，即，解得，因为，所以；当时，即，解得，因为，所以；因为，所以.故选C.【点睛】主要考查了一元二次不等式存在性问题，属于中档题.这类型问题关键是等价转化为最值问题，通过讨论对应二次函数最值的情况，从而求出参数范围.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“”的否定是_.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题这一结论即可.【详解】命题“”的否定是.故答案为.【点睛】这个题目考查了命题的否定的书写，特称命题的否定是全称命题，符合换量词，否结论，不变条件这一结论.14.设为等差数列的前项和，若，则_.【答案】9【解析】在等差数列中， 成等差数列，成公
10、差为2的等差数列，即 15.如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，现测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高_米【答案】【解析】【分析】中，由三角形内角和定理求出，利用正弦定理求得的值，在直角中求出的值【详解】因为，所以，在中，根据正弦定理可知，即，解得，在直角中，所以塔高米故答案为.【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，以及直角三角形的边角关系应用问题，是基础题正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（
11、4）求三角形外接圆半径.16.如图所示是一个有层的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，第层每边有个点，则这个点阵共有_个点.【答案】【解析】分析：首先对对题中所给的点阵进行分析可知规律，每层的边上除了端点外还有若干个点，这样经过分析，就可以得到每层的点数等于线段内部的点之和最后再加上留个顶点，从而求得每层的点的个数，之和应用等差数列求和方法求得结果.详解：根据题中所给的规律，可以断定第层每条边上有（去掉两个边的端点）个点，则第层共有（）个，所以这个点阵共有个点，所以答案为.点睛：该题考查的是应用数列的有关问题来解决点阵的点的总数问题，处理上述解析过
12、程中的方法外，还可以通过从第二层开始，每增加一层，就增加六个点，从而利用等差数列求和公式求得结果，注意对第一项要另外加上.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知 ，：关于的方程有实数根.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）关于x的方程x2x+a=0有实数根，则=14a0，解得a的范围（2）由题意得为真命题，为假命题求解即可.【详解】（1） 方程有实数根，得：得；（2）为真命题，为真命题 为真命题，为假命题，即得.【点睛】本题考查了一元二次方程的实数根与判
13、别式的关系、复合命题真假的判断方法，考查了推理能力，属于基础题18.在ABC中，分别为三个内角A、B、C对边，且(1)求角A；(2)若且求ABC的面积【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解（2）由正弦定理得：，再代入即可得解【详解】（1）由题意，得，；（2）由正弦定理，得，,.【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题19.记为等差数列的前项和，已知，（）求的通项公式；（）求，并求的最小值【答案】（1），（2），最小值为16【解析】【分析】（）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（
14、）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【详解】（I）设的公差为d，由题意得由得d=2 所以的通项公式为（II）由（I）得 所以当n=4时，取得最小值，最小值为16【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：函数法，邻项变号法.20.已知数列的前项和，且；（1）求它的通项.（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用与的关系式，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，利用乘公比错位相减法，即可求得数列的前项和.【详解】（1
15、）由，当时，；当时，当也成立，所以则通项；（2）由（1）可得，-，两式相减得 所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查了数列和的关系、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，着重考查了的逻辑思维能力及基本计算能力等.21.某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足 （其中，为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件（1）将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；（2）促销
16、费用投入多少万元时，厂家的利润最大【答案】（1）y=25-(+x)，（， a为正常数）;（2）当a3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当Oa3时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大【解析】试题分析：（1）利润为总销售所得减去投入成本和促销费用，得y=t(5+）)(10+2t）x=3t+10x，又销售量t万件满足t=5，整理化简可得y=25（+x）；（2）将函数方程整理为对勾函数形式y =28（+x+3），利用基本不等式得到= x +3，即x =3时，得到利润最大值为试题解析：（1）由题意知，利润y=t(5+）)(10+2t）x=3t+10x由销售量t万件满足t=5（其中0xa，a
17、为正常数）代入化简可得：y=25（+x），（0xa，a为正常数）（2）由（1）知y =28（+x+3），当且仅当= x +3，即x =3时，上式取等号当a3时，促销费用投入3万元时，厂家利润最大； 当0a3时，y在0xa上单调递增，x = a，函数有最大值促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大 综上述，当a3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当0a3时，促销费用投入x = a万元时，厂家的利润最大22.已知函数，且的解集为.（1）解关于的不等式，；（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由题意可得出，将所求不等式变形为，对和的大小关系进行分类讨论，可得出所求不等式的解集；（2）由题意可得，利用基本不等式求出函数的最大值和最小值，可得出，进而可求得实数的最小值.【详解】（1）由于二次不等式的解集为，且，则，不等式即为.当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；（2），则.当时，当且仅当时，等号成立；当时，当且仅当时，等号成立.由上可知，对于任意的、都有，则.因此，实数的最小值为.【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，同时也考查了基本不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.