1、第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算 学 习 目 标核 心 素 养 1.掌握三角形的面积公式的应用(重点)2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算素养2.借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象素养自 主 预 习 探 新 知 1三角形的面积公式(1)S12aha12bhb12chc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高)；(2)S12ab sin C ；(3)S12(abc)r(r 为内切圆半径).12bc sin A12ca sin B思考：(1)三角形的面积公式适用于所有的三角形吗？
2、(2)已知三角形的两个内角及一边能求三角形的面积吗？提示(1)适用三角形的面积公式对任意的三角形都成立(2)能利用正弦定理或余弦定理求出另外的边或角，再根据面积公式求解2三角形中常用的结论(1)AB ，AB2 ；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；C2C2(4)三角形中的诱导公式sin(AB)，cos(AB)，tan(AB)C2，sin AB2 ，cos AB2 sin Ccos Ctan Ccos C2sin C21下列说法中正确的是 (填序号).已知三角形的三边长为 a，b，c，内切圆的半径为 r，则三角形的面积 S(abc)r；在A
3、BC 中，若 cb2，SABC 3，则 A60；在ABC 中，若 a6，b4，C30，则 SABC 的面积是 6；在ABC 中，若 sin 2Asin 2B，则 AB.中三角形的面积 S12(abc)r.由 S12bc sin A 可得 sin A 32，A60或 120.在ABC 中由 sin 2Asin 2B 得 AB 或 AB2.9 3 由题知 A1801203030，由 asin A bsin B知b6，S12ab sin C18 32 9 3.2在ABC 中，a6，B30，C120，则ABC 的面积为 3 由题知 SABC12ab sin C15 3得 sin C 32.又由csin
4、 C2R 得 c2 3 32 3.3在ABC 中，ab60，SABC15 3，ABC 的外接圆半径为3，则边 c 的长为 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，B3，cos A45，b 3.(1)求 sin C 的值；(2)求ABC 的面积三角形面积的计算解(1)角 A，B，C 为ABC 的内角，且 B3，cos A45，C23 A，sin A35.sin Csin 23 A 32 cos A12sin A34 310.(2)由(1)知 sin A35，sin C34 310.又B3，b 3，在ABC 中，由正弦定理得 ab sin Asi
5、n B 65.ABC 的面积 S12ab sin C1265 334 310369 350.1由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用2如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算跟进训练1在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若sin A2 23，a3，SABC2 2，则 b 的值为()A6 B3C2 D2 或 3D 因为 SABC12bc sin A2 2，所以 bc6，又因为 sin A2 23，所以 cos A13，又 a3，由余弦定理得 9b2c22bc cos Ab2c24，b2c213，
6、可得 b2 或 b3.【例 2】在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.证明：a2b2c2sin（AB）sin C.思路探究：由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开三角恒等式证明问题证明 法一：(边化角)由余弦定理a2b2c22bc cos A，b2a2c22ac cos B，a2b2b2a22bc cos A2ac cos B，整理得：a2b2c2a cos Bb cos Ac.依正弦定理有acsin Asin C，bcsin Bsin C，a2b2c2sin A cos Bsin B cos Asin Csin（AB）sin C.法二：(角化边)sin（A
7、B）sin Csin A cos Bcos A sin Bsin Caa2c2b22acb2c2a22bcbc2（a2b2）2c2a2b2c2.1三角恒等式证明的三个基本原则(1)统一边角关系(2)由繁推简(3)目标明确，等价转化2三角恒等式证明的基本途径(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形跟进训练2在ABC 中，求证：cos Bcos Ccb cos Abc cos A.证明 由正弦定理得右边2R sin C2R sin B cos A2R sin B2R sin C cos A
8、sin（AB）sin B cos Asin（AC）sin C cos Asin A cos Bcos A sin Bsin B cos Asin A cos Ccos A sin Csin C cos Asin A cos Bsin A cos Ccos Bcos C左边原等式成立探究问题1.如图所示，图中共有几个三角形？线段 AD分别是哪些三角形的边，B 是哪些三角形的内角？提示 在图形中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段 AD 是ADC 与ABD 的公共边，B 既是ABC 的内角，又是ABD 的内角解三角形中的综合问题2在探究 1 中，若 sin Bsin ADB，则ABD
9、 是什么形状的三角形？在此条件下若已知ADB，ABm，DCn，如何求出AC?提示 若 sin Bsin ADB，则ABD 为等腰三角形，在此条件下，可在ABD 中先求出 AD，然后利用余弦定理在ADC 中求出AC，也可以在ABD 中先求出 BD，然后在ABC 中，利用余弦定理求出 AC.【例 3】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A4，b sin 4C c sin 4B a.(1)求证：BC2；(2)若 a 2，求ABC 的面积思路探究：(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知等式即证(2)结合第(1)问可直接求出B，C，再利用面积公式求值解(1)证明：由 b sin
10、 4C c sin 4B a，应用正弦定理，得 sin B sin 4C sin C sin(4B)sin A，所以 sin B(22 sin C 22cos C)sin C(22 sin B 22 cos B)22，整理得 sin B cos Ccos B sin C1，即 sin(BC)1，因为 0B34，0C34，从而 BC2.(2)因 BCA34，所以 B58，C8.由 a 2，A4得 ba sin Bsin A 2sin 58，ca sin Csin A 2sin 8，所以ABC 的面积 S12bc sin A 2sin 58 sin 8 2cos 8sin 812.(变条件，变结论
11、)将例题中的条件“A4，b sin 4C c sin 4B a”改为“ABC 的面积 S 34(a2b2c2)”求：(1)角 C 的大小；(2)求 sin Asin B 的最大值解(1)由题意可知12ab sin C 34 2ab cos C.所以 tan C 3，因为 0C，所以 C3.(2)由已知 sin Asin Bsin Asin A3sin Asin 23 Asin A 32 cos A12sin A 3sinA6 30A23，当 A3，即ABC 为等边三角形时取等号所以 sin Asin B 的最大值为 3.1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用
12、到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用课 堂 小 结 提 素 养 处理三角形问题时常用的公式(1)labc(l 为三角形的周长).(2)ABC.(3)三角形内切圆的半径：r2Sabc.特别地，当ABC 为直角三角形，c 为斜边时，rabc2.(4)三角形的面积 S p（pa）（pb）（pc），这里 p12(abc)，这就是著名的海伦一秦九韶公式(5)三角形的面积 Sabc4R 2R2sin A sin B sin C(R 为ABC 外接圆的半径).1判断正误(1)公式 S12a
13、b sin C 适合求任意三角形的面积()(2)三角形中已知三边无法求其面积()(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积()答案(1)(2)(3)提示 已知三边可以先利用余弦定理求出其中一角，然后再求面积故(2)错2已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos C2 23，b cos Aa cos B2，则ABC 的外接圆面积为()A4 B8 C9 D36 C 由余弦定理及题意得bb2c2a22bcaa2c2b22ac2，即b2c2a2a2c2b22c2，整理得 c2，由 cos C2 23 得 sin C13，再由正弦定理可得 2Rcsin C6，所以ABC
14、的外接圆面积为 R29.3在ABC 中，已知 B4，D 是 BC 边上一点，AD10，AC14，DC6，则 AB 的长为 5 6 在ADC 中，AD10，AC14，DC6，cos ADCAD2DC2AC22ADDC102621422106 12.又ADC(0，)，ADC23，ADB3.在ABD 中，由正弦定理得ABsin ADB ADsin B，ABADsin ADBsin B10 32225 6.4已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，sin2B2sinAsin C.(1)若 ab，求 cos B；(2)设 B90，且 a 2，求ABC 的面积解(1)由题设及正弦定理可得 b22ac.又 ab，可得 b2c，a2c.由余弦定理可得 cos Ba2c2b22ac14.(2)由(1)知 b22ac.因为 B90，由勾股定理得 a2c2b2，故 a2c22ac，进而可得 ca 2.所以ABC 的面积为12 2 21.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
