1、压轴题突破练1(2015济南质检)已知函数f(x)cos，g(x)exf(x)，其中e为自然对数的底数(1)求曲线yg(x)在点(0，g(0)处的切线方程；(2)若对任意x，不等式g(x)xf(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(3)试探究当x时，方程g(x)xf(x)解的个数，并说明理由2(2015潍坊模拟)已知焦点在x轴上的椭圆D：1的离心率为，F1，F2分别为左，右焦点，过点P(3，0)作直线交椭圆D于A，B(B在P，A两点之间)两点，且F1AF2B，A关于原点O的对称点为C.(1)求椭圆D的方程；(2)求直线PA的方程；(3)过F2任作一直线交过A，F1，C三点的圆于E，F两点，求OE
2、F面积的取值范围3.已知函数f(x)其中a是实数，设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图象上的两点，且x1x2.(1)当x0时，讨论函数g(x)f(x)f(ex)的单调性；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围4已知椭圆1(ab0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且kBPkBQe2.()试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；()PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由压轴题突破练1解(1)f(x)cos
3、sin xf(x)cos x，g(x)excos x且g(0)e0cos 01.g(x)excos xexsin x，g(0)1，所以曲线yg(x)在点(0，g(0)处的切线方程为yx1.(2)对任意x，不等式g(x)xf(x)m恒成立，等价于对任意x，mg(x)xf(x)min.设h(x)g(x)xf(x)，x.则h(x)excos xexsin xsin xxcos x(exx)cos x(ex1)sin x，因为x，所以(exx)cos x0，(ex1)sin x0，所以h(x)0，故h(x)在上单调递增，因此当x时，函数h(x)取得最小值h；所以m，即实数m的取值范围是.(3)设H(x
4、)g(x)xf(x)，x.当x时，H(x)ex(cos xsin x)sin xxcos x0，所以函数H(x)在区间上单调递减故函数H(x)在至多只有一个零点，又H0，H0，而且函数H(x)在上是连续不断的，因此，函数H(x)在上有且只有一个零点2解(1)椭圆1的离心率e，m2.所以椭圆的方程为：1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足方程组把式代入式化简得：(23k2)x218k2x27k260，所以x1x2，x1x2，又因为F1AF2B，所以，2，所以(x13，y1)2(x23，y2)，即x12x23，解得把式代入x1x2，解之得k2，即k.所以直线PA的方程为
5、y(x3)(3)由(2)知x10，即A(0，)(或A(0，)，因A与C关于原点对称，所以C(0，)(或C(0，)，设过A，F1，C三点的圆为x2y2DxEyF0，则解之得所以圆的方程为x2y2x20，设过F2的直线EF为：xny1，则|EF|2，原点O到直线EF的距离为d，所以SOEFd|EF|，令1n2t，则t1，所以01，所以SOEFd|EF|，因此OEF面积的取值范围是(0，3解(1)当x0时，f(x)x22xa，ex0，f(ex)x，g(x)x32x2ax，g(x)3x24xa3a，当a时，g(x)0恒成立，此时g(x)x32x2ax在(，0)上单调递增；当a时，令g(x)0，得x1，
6、x2，()当0a时，x1x20.g(x)在与内单调递增，在区间内单调递减()当a0时，x20(舍去)，g(x)在区间内单调递增，在区间内递减(2)当x1x20或x2x10时，f(x1)f(x2)因此，若f(x)在点A、B处的切线重合，则必有x10x2.当x10时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1)处的切线方程为：y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa，当x20时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2)处的切线方程为：yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条件是由式及x10x2得02.由得aln x21ln1.令t，则0t2，且at2tln
7、t.设h(t)t2tln t(0t2)，则h(t)t10(0t2)h(t)t2tln t在区间(0，2)内是减函数则h(t)h(2)ln 21，aln 21.又当t0时，h(t).所以实数a的取值范围是(ln 21，)4解(1)由题意知b1，a2b22c2，又a2b2c2，解之得a23，c22，椭圆的标准方程为y21，离心率e.(2)()设直线PQ的方程为xmyn，且P(x1，y1)，Q(x2，y2)联立得(3m2)y22mnyn230.(2mn)24(3m2)(n23)12(m2n23)0(*)kBMkMNe2，3(y11)(y21)2x1x22(my1n)(my2n)，(2m23)y1y2(2mn3)(y1y2)2n230，(2m23)(2mn3)2n230，整理得n22mn3m20，(n3m)(nm)0，nm或n3m.所以直线PQ的方程为xmymm(y1)(舍)或xmy3mm(y3)，所以直线PQ过定点，定点M的坐标为(0，3)()由题意，PBQ90，若BPM90，或BQM90，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2(y1)24上，联立解之得y0，或y1(舍去)因此P或Q只能是椭圆的左右顶点又直线PQ过定点M(0，3)，kPQ.故PBQ可以是直角三角形，此时直线PQ的斜率为.8
