1、河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一选择题1. 设a，b，c，dR，且ab，cd，则下列不等式中一定成立的是（ ）A. acbdB. acbdC. acbdD. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，可得的正误；再令，可判断的正误.【详解】由，根据不等式的性质，可得，故正确；令，：不成立，故错误；： 不成立，故错误；：不成立，故错误.故选：.【点睛】本题考查不等式的性质，考查特殊值法的应用，属于基础题.2. 设等差数列的前项和为，且则过点的直线斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：数列等差数列，设其公差为
2、，即；过点 的直线斜率，故选B考点：等差数列的性质3. 已知函数的最小正周期为，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的周期公式及条件，可求出的值，代入数据，即可得答案.【详解】函数的最小正周期为，周期，解得，即，故选：A4. 若不等式的解集是R，则的范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：将问题转化为不等式在上恒成立解决，解题时注意对的取值要分类讨论详解：由题意得不等式在上恒成立当时，不等式为，不等式恒成立符合题意 当时，由不等式恒成立得，解得综上，所以实数的范围是故选A点睛：不等式解是全体实数(或恒成立)的条件是当时，；当时，不等式的解是全体实数(或
3、恒成立)的条件是当时，；当时，5. 设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】是与的等比中项，可得.利用及其基本不等式的性质即可得出.【详解】是与的等比中项，.，.，当且仅当时取等号.的最小值为.故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
4、最值，这也是最容易发生错误的地方.6. 已知三角形中，连接并取线段的中点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，线段的中点为，故选B.7. 已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，当n2时，an1an0，当n2时，an1an0，从而可得到n2时，an最大.【详解】解：， 当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an；当n2时，an1an0，即an1an.所以a1a2a3，a3a4a5an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列函数性质：最值问题，属于基础
5、题.8. 若满足，且的最大值为6，则的值为（）A. -1B. -7C. 1D. 7【答案】C【解析】【分析】画出确定的可行域，由图象可知当时，可行域不存在；当时，与题意不符；当时，通过可行域可知当过时，取得最大值；将点坐标代入可构造出关于的方程，解方程求得结果.【详解】由可得可行域如下图阴影部分所示：则若，则可行域不存在，不符合题意若，则只有一个可行解，此时不合题意当时，可行域如下图阴影部分所示：可知当过点时，取得最大值又 ，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查线性规划中，根据最优解补全约束条件的问题；关键是能够排除含变量的条件得到区域，再根据含变量的条件确定最终的可行域，通过最优解的位置构造
6、方程求得结果.9. 设函数 则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当时，；令两式相加，得,则所求值为201.考点：倒序相加法.10. 设各项均不为零的等差数列an的前n项和为Sn，已知，且S100，则使不等式成立的正整数n的最小值是（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】由S100及等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质可得：，可得：，由可推得，利用的单调性即可得解【详解】解：在等差数列an中，由S100，得，则又，可知数列an为递增数列，则又当n10时，0，当n11时，使不等式成立的正整数n的最小值是11故选C【点睛】本题主要考查了
7、等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题11. 我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么的值为（ ）A. 41B. 45C. 369D. 321【答案】C【解析】【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果【详解】由等差数列的性质得：九阶幻方中所有数字之和为 ，由于每行每列和对角线上的数字和都相等，
8、所以对角线上的数字之和为，所以.故选【点睛】本题主要考查等差数列的性质和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12. 已知两条直线：y=m和： y=(m0)，与函数的图像从左至右相交于点A，B ，与函数的图像从左至右相交于C,D .记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m，y=(m0)，图像如下图，由= m，得，= ，得.依照题意得.，.【点评】在同一坐标系中作出y=m，y=(m0)，图像，结合图像可解得.二填空题13. 已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是_【答案】【解析】【
9、分析】根据是单位向量，且，求得，利用平面向量的夹角公式，求得与夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为是单位向量，且，所以，所以，因为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知等差数列的前项和是，如果，则=_【答案】40【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果【详解】等差数列的前项和是，解得，故答案为40【点睛】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】
10、.【解析】【分析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.【详解】，且，在等式两边同时除以得，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，由于不等式恒成立，则，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.16. 已知函数，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】由题意知函数的周期为，考虑在，内的最大值即可；计算，利用求得极值
11、点，再求在，内的最值【详解】由题意知函数的周期为，只需考虑在，内的最大值即可；计算，令，得，即，解得或，所以在，时，有，或；所以的最大值只能在、或和边界点处取到，计算，；所以的最大值是故答案为【点睛】本题考查了三角函数最值的应用问题，也考查了利用导数求函数单调性与极值的应用问题，是中档题三解答题17. 已知等差数列，为其前项的和，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项的和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）先解方程组得再求出数列的通项公式；（2）由（1）可知，再利用等比数列的前n项和公式求数列的前项的和.【详解】（1）依题意解得所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，所
12、以，所以数列是首项为，公比为9的等比数列，.所以数列的前项的和为.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列的判断和等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18. 在中,角、所对的边分别为、,.（1）求角的值；（2）若 ,的面积为,求边上的中线长.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由条件知 ，解得，即可求解角的值；（2）由于题设条件，求得，再由正弦定理，求解，进而得到的值和的值，即可求解边上的中线长.试题解析：（1）由条件知 ，即 ，解得或（舍去）又，.（2）由于. 又由正弦定理得，, 又， 由 知，由余弦定理得，边上的中线.考点：解三角
13、形问题.19. 已知圆的圆心为，且直线与圆相切.设直线的方程为，若点在直线上，过点作圆的切线，切点为，（1）求圆的标准方程；（2）若，试求点的坐标；（3）若点的坐标为，过点作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程；【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】分析】（1）先利用直线与圆相切，求出圆的半径，即可写出圆的标准方程；（2）设，由题分析知，解方程即可求出的值，进而得到点的坐标；（3）对直线的斜率分两种情况讨论，利用圆心到直线的距离为，即可得斜率的值，进而可得直线的方程；【详解】解：（1）因为直线与圆相切，所以圆的半径为，故圆的标准方程为.（2）因为，所以，所以在中，因为点在直线上，不妨设
14、点的坐标为，所以，解得或，所以点的坐标为或.（3） 当直线的斜率不存在时，其方程为，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设其方程为，由勾股定理得，圆心到直线的距离为，即，解得或，故所求直线方程为或.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键点是直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与圆相交时，弦心距、弦长的一半和圆的半径构成直角三角形，属于中档题.20. 在平行四边形中，分别是，上的点且，与交于点.（1）求的值；（2）若平行四边形的面积为21，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）根据向量共线基本定理，可用表示，再根据平面向量基本定理列出方程组求得
15、向量模的比值（2）根据三角形面积的比例关系，得到高的比值进而通过给出的三角形面积求出BOC的面积详解：（1）设，据题意可得，从而有 .由，三点共线，则存在实数，使得 ，即 ，由平面向量基本定理，解得，从而就有.（2）由（1）可知，所以 .点睛：本题考查了向量在平面几何中的综合应用，向量共线基本定理、向量共面基本定理是解决问题的关键，属于中档题21. 已知数列是递增等比数列，且数列的前3项和，点在直线上.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式.（2）利用错位相
16、减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围.【详解】（1）设数列是公比为且为递增等比数列，且数列的前3项和，则：，解得或，由于数列为单调递增数列，所以.所以，由于数列的，点在直线上.所以(常数)，所以.（2）由于数列，所以，-得：整理得，解得由于恒成立，所以，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.22. 如图，山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.（1）若以为观测点，在塔顶处测得地面上一点的俯角为，在塔底处测得处的俯角为，用表示山的高度；（2
17、）若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的射影. 已知石塔高度,当观测点在上满足时看的视角(即)最大，求山的高度.【答案】（1);(2).【解析】试题分析：利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后利用基本不等式求解；（2）在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到时，可利用函数的单调性求解；（3）基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.试题解析：解：在中，由正弦定理得：则设当且仅当即时，最大，从而最大由题意，解得考点：基本不等式的实际应用.
