1、第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 第2课时 正弦定理(2)学 习 目 标核 心 素 养 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题(重点)2.能根据条件，判断三角形解的个数3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题(难点)1.通过三角形解的个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理素养2.借助求解三角形的面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 1正弦定理及其变形(1)定理内容：asin A bsin Bcsin C2R(R为外接圆半径).(2)正弦定理的常见变形：sin Asin Bsi
2、n C ；asin A bsin Bcsin Cabcsin Asin Bsin C ；a ，b ，c ；sin A_，sin B_，sin C_abc2R2R sin A2R sin B2R sin Ca2Rb2Rc2R思考：在ABC 中，已知 a cos Bb cos A你能把其中的边 a，b 化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?提示 可借助正弦定理把边化成角：2R sin A cos B2R sin Bcos A，移项后就是一个三角恒等变换公式 sin A cos Bcos A sin B0.2对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯
3、一确定已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知 a，b 和 A 解三角形为例说明名称图形关系式解的个数 ab sin A；ab_b sin Aab_ A为锐角_无解 一解两解ab sin A思考：在ABC 中，a9，b10，A60，判断三角形解的个数提示 sin Bbasin A109 32 5 39，而 32 5 39 1，所以当 B为锐角时，满足 sin B5 39 的角有 60B90，故对应的钝角 B 有90B120，也满足 AB180，故三角形有两解3三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：(1)SABC12bc si
4、n A ，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半(2)SABC12ah，其中 a 为ABC 的一边长，而 h 为该边上的高的长(3)SABC12r(abc)12rl，其中 r，l 分别为ABC 的内切圆半径及ABC 的周长12ac sin B12ab sin CB 由正弦定理可得 sin Asin C a2R c2R，即 ac，所以ABC为等腰三角形1在ABC 中，sin Asin C，则ABC 是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形D钝角三角形B 由题意可知，ABC 的面积为12ac sin B1232sin 3032.2ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a
5、，b，c.已知 B30，a3，c2，则ABC 的面积为()A12B32C 32D3 32A 由 ba 和大边对大角可知三角形的解的个数为一解3在ABC 中，A30，a3，b2，则这个三角形有()A一解B两解C无解D无法确定45 根据正弦定理知sin Aa sin Bb，结合已知条件可得 sin Bcos B，又 0B180，所以 B45.4在ABC 中，若sin Aa cos Bb，则 B 的值为 合 作 探 究 释 疑 难【例 1】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答(1)a10，b20，A80；(2)a2 3，b6，A30.三角形解的个数的判断解(1)
6、a10，b20，ab，A8020sin 6010 3，ab sin A，本题无解(2)a2 3，b6，ab，A30b sin A，b sin Aa2，AC2，BC2；AB2A2Bsin Acos B，cos Asin B2应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？【例 3】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C.(1)求 C 的大小；(2)若 c2 3，A6，求ABC 的面积思路探究：(1)由 mnsin 2C，利用三角恒等变换求出 C 的大小；(2)由正弦定理可得 b 的大小，利用三角形
7、的面积公式求解解(1)由题意，mnsin A cos Bsin B cos Asin 2C，即 sin(AB)sin 2C，sin C2sin C cos C.由 0C0.所以 cos C12.C23.(2)由 C23，A6，得 BAC6.由正弦定理，bsin Bcsin C，即 bsin 6 2 3sin 23，解得 b2.所以ABC 的面积 S12bc sin A1222 3sin 6 3.(变条件，变结论)将例题中的条件“m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，mnsin 2C”换为“若ac2b，2cos 2B8cos B50”求角B的大小并判断ABC的形状解 2co
8、s 2B8cos B50，2(2cos2B1)8cosB50.4cos2B8cosB30，即(2cos B1)(2cos B3)0.解得 cos B12或 cos B32(舍去).0B，B3.ac2b.由正弦定理，得 sin Asin C2sin B2sin 3 3.sin Asin 23 A 3，sin Asin 23 cos Acos 23 sin A 3.化简得32sin A 32 cos A 3，sin A6 1.0A23，6A6a，所以 BA，故 B60或 120.(3)当 b sin Aab 时，ABC 有两解B 因为 A453b，所以ABC 的个数为 1.2满足 a4，b3 和
9、A45的ABC 的个数为()A0 B1 C2 D无数多B 由 S12ab sin C1243 32 得 S3 3，故选 B.3在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，其中 a4，b3，C60，则ABC 的面积为()A3 B3 3C6 D6 32 55 2 10 由 tan A2，得 sin A2cos A，由 sin2Acos2A1，得 sinA2 55，4 在 ABC 中，若 b 5，B 4，tan A 2，则 sin A ，a b5，B4，由正弦定理 asin A bsin B，得 ab sin Asin B 2 5222 10.5在ABC 中，若 abc135，求2sin Asin Bsin C的值解 由条件得acsin Asin C15，sin A15sin C.同理可得 sin B35sin C.2sin Asin Bsin C215sin C35sin Csin C15.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
