1、第2课时组合(二)Q双色球第19085期开奖，湖南一彩民高中5注一等奖，总奖金高达3953万元，成为此次彩市大赢家双色球是全国范围内发行的福利彩票，摇奖时用33个红球16个蓝球，对应着彩票的33个红数码和16个蓝数码，每一注彩票要从33个红数码中选6个，从16个蓝数码中选1个，一共选七个数码，如果你买的一注彩票与这7个数码全部一样(不管顺序)就中特等奖，如果6个一样就中一等奖，以此类推有人想，这么高的奖金为何不全部买下来呢？问题是，如果全部买下来需要买多少注呢？每注两元，一共要花多少钱呢？这样的问题如何计算呢？它需要用到什么数学知识呢？这是一个组合计数问题，如何利用组合数公式来解决此问题呢？X
2、1有限制条件的组合问题(1)解答组合应用题的总体思路整体分类对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于_全集_，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于_空集_，以保证分类的不重复，计算其结果时，使用分类加法计数原理局部分步整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的_不重复_.计算每一类相应的结果时，使用分步乘法计数原理考查顺序区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用_组合_解答，有序的问题属_排列_问题辩证地看待“元素”与“位置”排列组合问题中的元素与位置，要视具体情况而定，有时“定元素选位置”，
3、有时“定位置选元素”把实际问题抽象成组合模型认真审题，把握问题的本质特征，抽象概括出常规的数学模型(2)解答组合应用题的思想方法一一对应的思想特殊到一般的归纳推理方法正难则反的转化与化归思想“含”与“不含”某元素的分类讨论思想2解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点(1)一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列(2)注意点：元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法Y1现有16张不同卡片，其中红色，黄色
4、，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法为(D)A232种B252种C256种D472种解析由题意，不考虑特殊情况，共有C560种取法，其中3张卡片同色的有4C16种取法，其中两张红色卡片的共有CC72种取法，故所求的取法共有5601672472种故选D2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(A)A14 B24 C28 D48解析用间接法得不同选法有C114种，故选A3在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行(1)它们共能构成_1260
5、_个平行四边形；(2)共有_80_个交点解析(1)第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC1260(个)(2)第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC80(个)4某车间有11名工人，其中有5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人中选派4名钳工，4名车工修理一台机床，不同的选派方法有_185_种解析分三类，第一类，从5名钳工中选4人干钳工，从4名车工和另2名既会车工又会钳工的6人中选4人干车工，有CC75种选法；第二类，从5名钳工中选3人，再从既会车工又会钳工的2人中选1名干钳工，从4名车工和剩下的一名既会车工又会钳工
6、的工人中选出4名干车工有CCC100种(选法)；第三类，从5名钳工中选2人，和2名既会车工又会钳工的2人共4人干钳工，4名只会车工的工人全部干车工，有CCC10种选法由分类加法计数原理知，不同的选派方法共有7510010185种H命题方向1简单的组合问题典例1从4名男生，3名女生中选出3名代表(1)不同的选法共有多少种？(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种？(3)代表中男、女都要有的不同选法共有多少种？思路分析(1)不受限制，从7人中任意选3人，按组合定义计算；(2)“至少一女”的对立事件为“全是男生”，可用间接法计算；(3)“代表中男、女生都要有”，即1男2女或2男1女，可分类求解，也
7、可间接求解解析(1)即从7名学生中选出三名代表，共有选法C35种(2)至少有一名女生的不同选法共有CCCCC31种，或CC31种(3)男、女生都要有的不同的选法共有CCC30种，或CCCC30种规律总结解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，若取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；若取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏跟踪练习1在一个口袋中装有12个大小相同的黑球、白球和红球已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个黑球的概率是求：(1)袋中黑球的
8、个数；(2)从袋中任意摸出3个球，求至少得到2个黑球的概率解析(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件A，设袋中黑球的个数为x，则P(A)1P()1，解得x3或者x20(舍去)，故黑球为3个(2)记“从袋中任意摸出3个球，至少得到2个黑球”为事件B，则P(B)命题方向2有限制条件的组合问题典例2(1)(2019江西南昌模拟)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有_74_种(2)(2018山东济南模拟)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有_64_种思
9、路分析(1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：2名男生和1名女生；1名男生和2名女生；3名女生也可用间接法，用总的选法数减去全部是男生的选法数(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没有任何两个人是夫妻第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻在每一类中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确定具体的人来介绍子女的教育情况也可以采用间接法，用总的选法数减去4位家长有2对夫妻的选法数解析(1)解法一(直接法)，第一类，从5名男生中选出2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC40(种)选法；第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女生，有CC30(种
10、)选法；第三类，从4名女生中选出3名女生，有C4(种)选法根据分类加法计数原理知，共有74种选法解法二(间接法)：从所有的9名学生中选出3名，有C种选法，其中全为男生的有C种选法所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有CC74(种)(2)解法一(直接法)：4位作介绍的家长可分两类第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4位作介绍的家长来自于4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有2416(种)；第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C种，另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，
11、并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其选法有22种根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法有CC2248(种)根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有164864(种)解法二(间接法)：从8位家长中选出4位家长有C种选法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C种，所以满足题意的选法有CC64(种)规律总结常见的限制条件及解题方法(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据(2)含有“至多、至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分
12、类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解跟踪练习2高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？思路分析可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼使用两个计数原理解决解析(1)从余下的34名学生中选取2名，有C561(种)不同的选法有561种(2)从34名可选学生中选取3名，有C种或者CCC5984种不
13、同的选法有5984种(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC2100种不同的选法有2100种(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式NCCC21004552555种不同的选法有2555种(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有NCC65454556090种不同的选法有6090种命题方向3与几何有关的组合问题典例3如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4问：(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作多少个？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点
14、(包括A、B)中的4个为顶点，可作出多少个四边形？解析(1)CCCCC116(个)其中以C1为顶点的三角形有CCCC36(个)(2)CCCCC360(个)规律总结(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理(2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法(3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象组合问题来解决跟踪练习3(1)四面体
15、的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法解析(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法根据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C333(种)(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面有4C60(种)，四面体的每一棱上3点与相对
16、棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C(6063)141(种)命题方向4组合应用中分组分配问题角度1：不同元素分组、分配问题典例46本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本解析(1)根据分步乘法计数原理得有CCC90种；(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再
17、将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法规律总结分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象(2)分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪练习4按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同
18、的分法？(1)各组人数分别为2,4,6人；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间解析(1)CCC13860(2)5775(3)分两步：第一步平均分三组，第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有ACCC34650种不同的分法角度2：相同元素分配问题典例56个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子解析(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C10(种)(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块
19、隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000|001|，有C种插法，故共有CC40(种)(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如|00|0000|，有C种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有C种插法故共有C(CC)30(种)规律总结相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一
20、行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm)，有C种方法可描述为n1个空中插入m1块板跟踪练习5将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中(1)每盒至多一球，有多少种放法？(2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内球数不少于它的编
21、号数，有多少种放法？解析(1)这是全排列问题，共有A24种放法(2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C28种放法(3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个由于球是相同的，即没有顺序，所以属于组合问题，故共有CC12种放法(4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有C286种放法X排列与组合的综合应用排列与组合的综合应用题的背景丰富、情境陌生，无特定模
22、式和规律可循因此，必须认真审题，把握其本质特征，化归为排列组合的常规模型来求解，其一般解法是：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按元素的性质分类或按事情的发生过程分步解排列组合题的“16字方针，12个技巧”(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合(2)“12个技巧”是解排列组合题的捷径，即：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法； 定序问题倍缩法；定位问题优先法； 有序分配问题分步法；多元问题分类法； 交叉问题集合法；至少(或至多)问题间接法； 选排问题先取后排法；局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法典例6从6人中选4人分别到巴
23、黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有(B)A300种B240种C144种D96种解析不选甲、乙，则N1A24.只选甲，则N2CCA72.只选乙，则N3CCA72.选甲、乙，则N4CAA72.故NN1N2N3N4240.故选B跟踪练习6有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析在解本题时应考虑两方面的问题：(1)0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此必须同时考虑0与1的分类；(2)每张卡片都有正面
24、与反面两种可能解法上既可用直接法，也可用排除法解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：(1)取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法，0可在后两位，有C种方法，最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法，又除含0的那张外，其他两张都有正面和反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个(2)取1不取0，同上分析可得不同的三位数有C22A个(3)0和1都不取，不同的三位数有C23A个综上所述，共有不同的三位数CCC22C22AC23A432个解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数C2
25、3AC22A432个Y要正确区分分堆与分配问题典例7有12本不同的书，分成4堆(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)错解(1)有CCCC种分法；(2)有CCCC种分法；(3)有CCCC种分法辨析A、B、C、D四本书平均为分两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而CC6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误正解(1)有分法种(2)有分法种(3)有分法CCCC种点评1.分堆与分配问题将一组n个不同
26、元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的nm个中选取m个给B，依次类推，不同方法种数为CCC个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为2相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法K1市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是(C)A48 B54 C72 D84解析根据题意，先将3名乘客进行全排列，有A6(种)排法，排好后，有4个空当，再将1个空位和余下的两个连续的
27、空位插入4个空当中，有A12(种)方法，根据分步乘法计数原理，共有61272(种)候车方式选C2如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组其中可以构成三角形的组数为(C)A208B204C200D196解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C，所以可以构成三角形的组数为：C3C8C200，故选C3某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有(B)A24种B36种C38种D108种解析由电脑编程人员的分配方案进行分类：第一类：电脑编程人员分给甲部门1人，另2人去乙部门，有CCC18种；第二类：电脑编程人员分给甲部门2人，另1人去乙部门，有CCC18种共有不同分配方案181836种42019年3月10日是第十四届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，不同的分配方案有 _90_种(用数字作答)解析A90种