1、高考资源网（） 您身边的高考专家1.3.3函数的最大(小)值与导数Q中国有句俗语“差之毫厘，谬以千里”，因此，很多人就以为“毫、厘”就是长度单位的最小值，在天文学中常用的长度单位是光年(Light year)，是光(速度为每秒299792.458公里)在一年(365天)里走的距离，因此，很多人就认为长度单位的最大值就是光年随着人类对宏观世界认识的不断扩大，对微观世界认识的不断深入，大单位的值越来越大，小单位的值越来越小，那么函数是否也有最大值与最小值呢？下面我们谈谈函数的最大值与最小值X1函数yf(x)在闭区间a，b上取得最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那
2、么它必有最大值和最小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值Y1若函数f(x)x42x23，则f(x)(B)A最大值为4，最小值为4B最大值为4，无最小值C最小值为4，无最大值D既无最大值，也无最小值解析f(x)4x34x，由f(x)0得x1或x0.易知f(1)f(1)4为极大值也是最大值，故应选B2(2019鄂伦春自治旗二模)若函数f(x)在(2，a)上有最小值，则a的取值范围为(A)A(1，) B1，)C(0，) D0，)解析
3、f (x)，令f (x)0，解得：x1，令f (x)0，解得：x1，故f(x)在(2，1)递减，在(1，)递增，若f(x)在(2，a)有最小值，则a1，故选A3已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm32.解析令f(x)3x2120，得x2或x2，列表得：x3(3，2)2(2,2)2(2,3)3f(x)00f(x)17极大值24极小值81可知M24，m8，Mm32.故答案为32.4已知f(x)x2mx1在区间2，1上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是(4，2).解析f(x)m2x，令f(x)0，得x.由题设得21，故m(4，2)H命题方向1
4、求函数的最值典例1(1)(2019临沂高二检测)yx3x2x1在区间2,1上的最小值为(C)AB2C1D4(2)(2019安庆高二检测)已知函数f(x)x33x，xR.求f(x)的单调区间；当x，3时，求f(x)的最大值与最小值解析(1)y3x22x1(3x1)(x1)，令y0解得x或x1.当x2时，y1；当x1时，y2；当x时，y；当x1时，y2，所以函数的最小值为1，选C(2)f (x)3x233(x1)(x1)，当x1时，f (x)0，当1x1时，f (x)0，解得：x，令y0，解得：0x0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x1,1内没有极值点，求a的取值范围；(3
5、)若对任意的a3,6，不等式f(x)1在x2，2上恒成立，求m的取值范围思路分析(1)求f(x)的单调区间，可解不等式f(x)0，f(x)0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x1,1内没有极值点的含义是f(x)0在1,1内没有实数根，故f(x)在1,1内单调；(3)f(x)1在2,2内恒成立，则f(x)在2,2内的最大值小于等于1.解析(1)f(x)3x22axa23(x)(xa)，又a0，当x时，f(x)0；当ax时，f(x)0，(a0)x1x20，a3.(3)a3,6，1,2，a3，又x2,2，当x2，)时，f(x)0，f(x)单调递增，故f(x)的最
6、大值为f(2)或f(2)而f(2)f(2)164a20，f(x)maxf(2)84a2a2m，又f(x)1在2,2上恒成立，84a2a2m1，即m94a2a2，在a3,6上恒成立，94a2a2的最小值为87，m87.规律总结1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论2已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决跟踪练习2已知函数g(x)ex2axb，求g(x)在0,1上的最小值解析因为g(x)ex2a
7、，x0,1，ex1，e，所以(1)若a，则2a1，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递增，g(x)ming(0)1b.(2)若a，则12ae，于是当0xln(2a)时，g(x)ex2a0，当ln(2a)x0，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间ln(2a)，1上单调递增，g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a，则2ae，g(x)ex2a0，所以函数g(x)在区间0,1上单调递减，g(x)ming(1)e2ab.综上所述，当a时，g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)ming(0)1b，当a0)(1)求函数f(x)的最小值h(t
8、)；(2)在(1)的条件下，若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围思路分析第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)2tm，得h(t)2t0)，当xt时，f(x)的最小值为f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1，由g(t)3t230及t0，得t1，当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时，g(t)有极大值g(1)1，又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max
9、1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立，即g(t)m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max11时上式成立，实数m的取值范围是(1，)规律总结将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易一般地，若不等式af(x)恒成立，a的取值范围是af(x)max；若不等式af(x)恒成立，则a的取值范围是af(x)min.跟踪练习3(2019石家庄高二检测)已知函数f(x)(x1)3m.(1)若f(1)1，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)x31在区间1,2上恒成立，求m的取值范围解析(1)因为f(1)1，所以m1，则f(x)(x1)31x33x23x
10、，而f (x)3x26x33(x1)20恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(，)(2)不等式f(x)x31在区间1,2上恒成立，即不等式3x23xm0在区间1,2上恒成立，即不等式m3x23x在区间1,2上恒成立，即m不小于3x23x在区间1,2上的最大值因为x1,2时，3x23x3(x)20,6，所以m的取值范围是6，)Y没有准确把握条件致误典例4设l为曲线C：y在点(1,0)处的切线(1)求l的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线l的下方错解(1)设f(x)，则f(x).所以f(1)1.所以l的方程为yx1.(2)由(1)知yx1是曲线f(x)在点(1,0)处的切线，
11、又当x2时，有f(2)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，lnx0，所以g(x)1时，x210，lnx0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线l的下方点评由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点K1函数y2x33x212x5在2,1上的最大值、最小值分别是(A)A12；8B1；8C12；15 D5；16解析y6x26x12，由y0x1或x2(舍去)x2时y1；x1时y1
12、2；x1时y8.ymax12，ymin8.故选A2(2019梧州一模)设函数f(x)x33bx，当x0,1时，f(x)的值域为0,1，则b的值是(C)A BC D解析函数f(x)x33bx(b0)，f (x)3x23b，令f (x)0，当b0时，可得x，x(，)，x(，)，f (x)0，函数是减函数，则函数的极大值：f()2b，当x0,1时，f(x)的值域为0,1，可知1时，f()2b，解得b，当b1时，f(1)13b1，无解当b0时，x0,1时，f(x)的值域为0,1，不成立；函数f(x)x33bx，当x0,1时，f(x)的值域为0,1，则b的值是，故选C3若函数f(x)x22xa在区间，3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn.解析f(x)2x32，当10，当x1时，f(x)0.f(x)在，1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)12a3an.又f()5a，f(3)a，f()0，f(x)在(，2)和(2，)上为增函数，当x(2,2)时，f(x)0，f(x)在(2,2)上为减函数由此可知f(x)在x12处取得极大值f(2)16c，f(x)在x22处取得极小值f(2)c16，由题设条件知16c28得c12，此时f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c164，因此f(x)上3,3的最小值为f(2)4.- 9 - 版权所有高考资源网
