1、12考纲泛读了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.理解空间向量的线性运算及其坐标表示.3理解空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.4能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理,能用向量方法解决直线与直线、直线与平面所成的角及平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的作用.5高考展望空间向量是求解立体几何问题的重要工具，也是高考的热点.高考对空间向量的考查是以解答题的形式呈现的，尤其注重在给出的
2、几何体中，建立适当的空间直角坐标系.因此，应熟练掌握空间向量的概念及运算，特别是坐标运算，掌握用向量法解决垂直、平行的论证及探究性问题，掌握空间角、距离的计算程序.6789向量的线性运算111111122.A B C DABCDMACCMMANA DA NNDABa ADb AAcabcMN 在平行六面体中，在上，且，在上，且设，试用，表示101.,11331 =3ANMNMAANACABADabMAACabANADDNADNDADA D 连结，则又所以由已知，21123313cbMNMAANabcbabc 于是11用已知向量表示未知向量，要结合图形，以图形为指导是解题的关键根据图形，联想相关
3、的运算法则和公式，就近表示所需向量对照目标，对不符合目标要求的向量进行适当调整，直到所有向量都符合目标要求12111111.A B C DABCDACBDMABa ADb AAcabcB M 在长方体中，与的交点为设，试用，表示11121 ()21211 .22B MB BBMcBDcADABbacabc 13空间向量的数量积60123abcabcrabcrabc 已知向量，两两夹角都是，且，求向量的长和 与，的夹角的余弦值2222222|22260133255.2rabcabcabcabacbcabcabacbcrrabc，因为向量，两两夹角都是，所以，所以，即的长度为14222728272
4、772cos51084cos,1052792cos1510raabcaaabacrbabcbabbbcrcabccacbccr arar ar brbr br crcr c又，所以，15向量数量积定义、定义的变形式和基本性质是求向量模和夹角的计算公式，要理解记忆并且正确运用16.OABCOABCOBACOCAB 已知空间四边形中，求证：00()0,()0,0.OABC OBACOABCOBACOAOCOBOBOCOAOAOCOBOCOCABOCOBOAOC 由已知,得，所以，所以所以所以0.,.OBOCOAOCABOCAB所以所以17在空间直角坐标系中，BC=2，原点O是BC的中点,设点A(,
5、0)，点D在平面yOz内，且BDC=90,DCB=30.(1)求向量OD的坐标；(2)设向量AD与BC的夹角为,求cos的值.向量的坐标运算123218(1)如图，过D作DEBC，垂足为E.在BDC中，由BDC=90,DCB=30,BC=2，得BD=1，CD=.3所以DE=CD sin30=，OE=OB BD cos60=1-=,所以D点的坐标为(0,)，321212123219即向量OD=.(2)因为OA=，OB=(0,-1,0),OC=(0,1,0),所以AD=OD-OA=，BC=OC OB=(0,2,0).故.13(0,)223 1(,0)2233(,1,)2210cos5AD BCAD
6、BC 20向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距离的研究提供了运算基础，关键是确定点和向量的坐标.本题(1)利用向量的坐标的定义，求D点的坐标；(2)利用数向量的量积，求两向量的夹角.21已知空间三点A(-2,0,2)、B(-1,1,2)、C(-3,0,4),设=a,=b.(1)求a,b的夹角的余弦值；(2)若向量(ka+b)(ka-2b)，求 k 的值.ABAC22(1)因为a=AB=(-1,1，2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b=AC=(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),所以.(2)因为ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=(k
7、,k,0)-(-2,0,4)=(k+2,k,-4),所以(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,即2k2+k-10=0，解得k=或k=2.110cos1025a bab52231.有下列命题：若向量a,b与空间任意向量不能构成基底，则ab;若ab,bc，则ac;若OA,OB,OC是空间的一个基底，且OD=OA+OB+OC，则A，B，C，D四点共线；13131324若向量 a+b,b+c,c+a 是空间的一个基底，则向量 a,b,c 也是空间的一个基底.其中正确命题有个.32.已知向量a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9).若ab，则 x=，y=.163
8、225 3.234,234_.OABCDOAxBOyCOzDOxyz已知 是空间任意一点，、四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且则 2x3y4z23412341.OAOBOCODxyzxyz 因为，所以，所以1264.三棱锥O-ABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点 G 在 线 段 MN 上，且MG=2GN.设OA=a,OB=b,OC=c，试用a,b,c表示向量OG.27OG=OM+MG122312()2312 11()23 22111()233111633OAMNaONOMaOBOCOAabcaabc285.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)为空间三点.(
9、1)求以AB,AC为邻边的平行四边形的面积；(2)若n分别与向量AB，AC垂直，且|n|=3，求向量 n 的坐标.29(1)由题意，得AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2)，则|AB|=,|AC|=,所以，故sinCAB=.所以S=|AB|AC|sinCAB=，即以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为.14142361cos21414AB ACCABABAC 327 37 330(2)设n=(x,y,z).由已知得,解得或.所以 n=(1,1,1)或 n=(-1,-1,-1).2222303203xyzxyzxyz111xyz 111xyz 311.空间向量的运算空间向量的运算是空间
10、向量的坐标运算的基础，如证明直线与平面平行时，先在平面内找到两个向量，通过这两个向量根据向量垂直的数量积运算关系求出平面的法向量，再证法向量与已知直线的方向向量垂直.322.空间向量的坐标运算根据几何条件，分析要研究的问题需要用什么向量知识来解决，如是平行或垂直或求角，同时，针对目标建立空间直角坐标系，并明确哪些向量是可用的，把需要的向量的坐标找出来；可用向量是否是已知向量，若不是，看它们最易用哪些已知向量去表示；对表示出来的所有向量进行合理的运算，最终得到所需要的结论.33111111 1 (2010)6ABCDA B C DEFADCDDHBBBGEFGPPGHlGHC P泰州市期末联考
11、已知边长为 的正方体，为、上靠近 的三等分点，为上靠近 的三等分点，是的中点设点 在线段上，且，试确定 的值，使得的长度最短34112222122,0,60,2,66,6,46,0,01,1,60,6,0 (5,52)(552)(51,5126)|(51)(55)(26)54EFHAGCGHGPGHPC P 如图建系可得，所以，设，所以，164621627C P，当时，的长度取得最小值 35 ：利用空间向量共线定理、向量的坐标运算和空间两点间距离公式建立目标函数，再利用二次函数知识解决，考查学生知识的综合应选题感悟用能力36 2(2010)23PABCDABPAACBDOBDPC 南京市模拟考试 如图，正四棱锥 中，、相交于点，判断直线与直线的位置关系37222.22.33211.PABCDOACBDOPABCDABOAPAOPPAOAOP 因为四棱锥为正四棱锥，为、交点，所以平面因为，所以因为，所以，所以(2 0,0)(02 0)(2 0,0)(02 0)0,0,1(2 01)(02 2 0)OACBDxyABCDPPCBD 如图，以 为原点，、所在直线分别为 轴，轴，建立空间直角坐标系则，则，380BD PCBDPC所以，所以直线与直线的位置关系是异面垂直 建立空间直角坐标系，写出点的坐标，进而求得直线方向向量的坐标，应用数量积的坐标运算确定两条 直选题感悟：线垂直
