1、3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点学习目标 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系.1 预习导学 挑战自我，点点落实 2 课堂讲义 重点难点，个个击破 3 当堂检测 当堂训练，体验成功 知识链接考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x22x30与函数yx22x3；(2)方程x22x10与函数yx22x1；(3)方程x22x30与函数yx22x3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案 方程 x22x30 x22x10 x22x30 函数 yx22x3 yx22x1 yx22x3
2、函数的图象 方程的实数根 x11，x23 x1x21 无实数根 函数的图象与 x轴的交点(1,0)、(3,0)(1,0)无交点 预习导引1.函数的零点 对于函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点.2.方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与有交点函数yf(x).f(x)0 x轴有零点3.函数零点存在的判定方法 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是的一条曲线，并且有.那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的根.温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函
3、数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不一定成立.连续不断f(a)f(b)0f(c)0要点一 求函数的零点 例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)x27x6；解 解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)f(x)1log2(x3)；解 解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)f(x)2x13；解 解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)f(x)x24x12x2.解 解方程 f(x)x24x12x20，得 x6，所以函数的零点为6.规律方法 求函数零点的两
4、种方法：(1)代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.跟踪演练1 判断下列说法是否正确：(1)函数f(x)x22x的零点为(0,0)，(2,0)；解 函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f(x)x22x的零点为0和2，故(1)错.(2)函数f(x)x1(2x5)的零点为x1.解 虽然f(1)0，但12,5，即1不在函数f(x)x1的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故(2)错.要点二 判断函数零点所在区间例 2 在下列区间中，函数 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A.
5、14，0B.0，14C.14，12D.12，34解析 f14 4 e20，f(12)e10，f14 f12 0，零点在14，12 上.答案 C规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象.2.要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图象在a，b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)上不一定没有零点.跟踪演练2 函数f(x)exx2所在的一个区间是()A.(2，1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)解析 f(0)e00210，f(1)e112e10，
6、f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点.C要点三 判断函数零点的个数 例3 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数.解 方法一 函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图象交点个数.在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点.从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点.方法二 由于f(1)ln 112320，f(2)ln 2223ln 210，f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在
7、(0，)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数.跟踪演练3 函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解析 令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|12x.设 g(x)|log0.5x|，h(x)12x，在同一坐标系下分别画出函数g(
8、x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有 2 个交点，因此函数 f(x)有 2 个零点.答案 B 1 2 3 4 51.函数 y4x2 的零点是()A.2B.(2,0)C.12，0D.12解析 令 y4x20，得 x12.D函数 y4x2 的零点为12.1 2 3 4 52.对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()A.方程f(x)0一定有实数解 B.方程f(x)0一定无实数解 C.方程f(x)0一定有两实根 D.方程f(x)0可能无实数解解析 函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但未必函数yf(x)在(1,3)上有实数解.D1 2 3 4 53.函
9、数 ylg x9x的零点所在的大致区间是()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)f(10)lg 10 9101 9100，所以 f(9)f(10)0，所以 ylg x9x在区间(9,10)上有零点，故选 D.D解析 因为f(9)lg 910，1 2 3 4 54.方程2xx20的解的个数是()A.1B.2C.3D.4解析 在同一坐标系画出函数y2x，及yx2的图象，可看出两图象有三个交点，故2xx20的解的个数为3.C1 2 3 4 55.函数f(x)x22xa有两个不同零点，则实数a的范围是_.解析 由题意可知，方程x22xa0有两个不同解，故44a0，即a1.(，1)课堂小结1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.2.方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标.3.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.