1、第3章 (考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a(x,2y,3)，b(1,1,6)，且ab，则xy等于()A.B.C. D2解析：ab，x2y，x，y.xy.答案：B2若a(0,1，1)，b(1,1,0)，且(ab)a，则实数的值是()A1 B0C1 D2解析：ab(0,1，1)(，0)(，1，1)，因为(ab)a(，1，1)(0,1，1)1120，所以2.答案：D3若向量(1,0，z)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为，则z等于()A0 B1C1 D2解析：由题知，1，z0.答案：A4若a
2、e1e2e3，be1e2e3，ce1e2，d3e12e2e3(e1，e2，e3为空间的一个基底)，且dxaybzc，则x，y，z分别为()A.，1 B.，1C，1 D.，1解析：dxaybzcx(e1e2e3)y(e1e2e3)z(e1e2)答案：A5若直线l的方向向量为a(1，1,2)，平面的法向量为u(2,2，4)，则()Al BlCl Dl与斜交解析：u2a，ua，l，故选B.答案：B6在平行六面休ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz等于()A1 B.C. D.解析：如图，所以x1,2y1,3z1，所以x1，y，z，因此xyz1.答案：B7已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A
3、A12AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)(0，1,1)，(0，1,2)cos，.故选C.答案：C8已知空间四个点A(1,1,1)，B(4,0,2)，C(3，1,0)，D(1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为()A60 B45C30 D90解析：设n(x，y,1)是平面ABC的一个法向量(5，1,1)，(4，2，1)，n.又(2，1,3)，设AD与平面ABC所成的角为，则sin ，30.故
4、选C.答案：C9在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：以点D为原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,1，1)，(1,1,1)又可以证明A1C平面BC1D，AC1平面A1BD，又cos，结合图形可知平面A1BD与平面C1BD所成二面角的余弦值为.故选B.答案：B10.如右图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A. B.C. D.解析：因为A1B1E
5、F，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，即是A1到D1E的距离，D1E，由三角形面积可得所求距离为.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)11若a(2，3,5)，b(3,1，4)，则|a2b|_.解析：因为a2b(8，5,13)，所以|a2b|.答案：12设a(2，3,1)，b(1，2,5)，d(1,2，7)，ca，cb，且cd10，则c_.解析：设c(x，y，z)，根据题意得解得答案：13直角ABC的两条直角边BC3，AC4，PC平面ABC，PC，则点P到斜边AB的距离是_解析：以C为坐标原点，CA、C
6、B、CP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(4,0,0)，B(0,3,0)，P，所以(4,3,0)，所以在AB上的投影长为，所以P到AB的距离为d3.答案：314平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA12，AD1，且AB，AD，AA1的夹角都是60，则_.解析：，()()()()|2|2|221cos 604121cos 6012cos 60243.答案：3三、解答题(本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)如图所示，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简，并在图上标出结果；(2)设M是底面ABCD
7、的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求、的值解析：(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F2FC1，则.(2)()().，.16(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAAB2，BC4.求点B到平面PCD的距离解析：如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则依题意可知A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)，(4,0，2)，(0，2,0)，(4,0,0)，设面PCD的一个法向量为n(x，y,1)，则所以面PCD的一个单
8、位法向量为，所以，则点B到平面PCD的距离为.17(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F平面A1BE？证明你的结论解析：设正方体的棱长为1，如图所示，以，为单位正交基底建立空间直角坐标系(1)依题意，得B(1,0,0)，E，A(0,0,0)，D(0,1,0)，所以，(0,1,0)，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为AD平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE和平面ABB1A1所成的角为，则sin .即直线BE和平面ABB1A
9、1所成的角的正弦值为.(2)依题意，得A1(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1，)，设n(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n0，n0，得，所以xz，yz.取z2，得n(2,1,2)设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0t1)又B1(1,0,1)，所以(t1,1,0)，面B1F平面A1BE，于是B1F平面A1BEn0(t1,1,0)(2,1,2)02(t1)10tF为C1D1的中点这说明在棱C1D1上存在点F使B1F平面A1BE.18(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11.D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延
10、长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离解析：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0，1,0)，B(1,0,1)(1)证明：设C1Dx，ACPC1，.由此可得D(0,1，x)，P.(1,0,1)，(0,1，x)，.设平面BA1D的一个法向量为n1(a，b，c)，令c1，得n1(1，x，1)PB1平面BDA1，n11(1)x(1)00.由此可得x.故CDC1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1.又n2(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，cosn1n2.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为.(3)(1，2,0)，设平面B1DP的一个法向量为n3(a1，b1，c1)令c11，可得n3.又，C到平面B1DP的距离d.