1、第1讲基本立体图形及其直观图1多面体、旋转体的定义(1)由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体(2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体2棱柱的概念及其分类(1)棱柱的概念有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(2)棱柱的分类按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱按侧棱是否与底面垂直侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.3棱锥的概念及其分类(1)
2、棱锥的概念有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥(2)棱锥的分类按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥4棱台的概念及其分类(1)棱台的概念用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台(2)棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台5圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示定义图形及表示圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱表示为圆柱OO圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余
3、两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中圆锥表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台OO球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，如图中的球表示为球O6简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体(2)两种构成形式由简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成7直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤1斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”“三不变”2直观图与原图形面积的关系S直观图S原图形(或S原图形
4、2S直观图)1下列结论正确的是()A侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B六条棱长均相等的四面体是正四面体C有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台答案B解析底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误故选B.2如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是()A一个棱柱中挖去一个棱柱B一个棱柱中挖去一个圆柱C一个圆柱中挖去一个棱锥D一个棱台中挖去一个圆柱答案B解析螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖
5、去一个圆柱故选B.3(多选)下列说法正确的是()A圆柱的侧面展开图是一个矩形B圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D圆台平行于底面的截面是圆面答案ABD解析由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错误故选ABD.4以下利用斜二测画法得到的结论中，正确的是()A相等的角在直观图中仍相等B相等的线段在直观图中仍相等C平行四边形的直观图是平行四边形D菱形的直观图是菱形答案C解析根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平
6、行性不变，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故A，B，D错误；对于C，根据平行性不变原则，平行四边形的直观图仍然是平行四边形，C正确故选C5如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()AAB BAD CBC DAC答案D解析ABC是直角三角形，且ABC90，则ACAB，ACAD，ACBC故选D.6如图所示，长方体ABCDABCD中被截去一小部分，其中EHAD，则剩下的几何体是()A棱台 B四棱柱C五棱柱 D简单组合体答案C解析由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱故选C考向一空间几何体的结构特征例1下列说法正确的是()A有两个
7、平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案B解析A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明PAB，PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱延长后必相交于同一点故选B. 识别空间几何体的两种方法(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是
8、错误的，只要举出一个反例即可1.下列结论正确的是()A各个面都是三角形的几何体是三棱锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线答案D解析由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确故选D.2(多选)(2022山东聊城高三月考)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形
9、成的几何体可以是()A四棱柱 B四棱台C三棱柱 D三棱锥答案AC解析根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱故选AC考向二平面图形与其直观图的关系例2(1)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为()A24 B12C48 D20答案A解析解法一：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.故选A解法二：SOABC2S矩形OABC26224.故选A(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD1，腰A
10、DCB，下底AB3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图ABCD的面积为_.答案解析因为OE 1，所以OE，EF，所以直观图ABCD的面积S(13). 画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45或135)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图中的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量3.已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的直观图ABC的面积为()Aa2 Ba2Ca2 Da2答案D解析如图所示的平面图形和直观图ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于点D，则CD
11、OCa.所以SABCABCDaaa2.故选D.4用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_cm2.答案8解析解法一：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图2 cm2，故S原图形2S直观图8 cm2.多角度探究突破考向三空间几何体的展开图和截面图角度空间几何体的展开图问题例3(1)某圆柱的高为2，底面周长为16，M，N分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中OEON，如图
12、所示，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A2 B2 C3 D2答案B解析圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为EP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径EN164，EM2，MN2.故选B.(2)某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字该正方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图是该正方体的展开图，若图中“致”在正方体的后面，那么在正方体前面的字是()A最 B美 C逆 D行答案B解析由题图可知，“致”的对面是“美
13、”，“敬”的对面是“逆”，“最”的对面是“行”若图中“致”在正方体的后面，则“美”在前面故选B.角度空间几何体的截面问题例4(1)某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4，则该球的半径是()A2 B4 C2 D4答案B解析设截面圆的半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即2，根据截面圆的周长可得42r，得r2，故由题意知R2r2(2)2，即R222(2)216，所以R4，故选B.(2)(多选)(2022广东珠海高三质检)已知正
14、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，AC1平面.平面截此正方体所得的截面有以下四个结论，其中正确的是()A截面形状可能是正三角形B截面的形状可能是正方形C截面形状可能是正五边形D截面面积的最大值为3答案AD解析对于A，当截此正方体所得截面为B1CD1时满足，故A正确；对于B，由对称性得截面形状不可能为正方形，故B错误；对于C，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故C错误；对于D，当截面为正六边形时面积最大，为6()23，故D正确故选AD. (1)通常利用空间几何体的表面展开图解决以下问题：求几何体的表面积或侧面积；求几何体表面上任意两个点的最短表面距离(2)求解与截面有关的问题的关键是确定
15、截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算(3)作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面5.(2021新高考卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A2 B2 C4 D4答案B解析设圆锥的母线长为l，底面半径为r，因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，所以2rl.所以l2r2.故选B.6如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1 cm，高为5 cm，若一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点，则该质点所经最短路线的长为()A12 B13C D15答案C解析如图所示，把侧面展开两周可得对角线最
16、短，AA1 cm.故选C一、单项选择题1将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括()A一个圆台、两个圆锥B两个圆台、一个圆柱C两个圆柱、一个圆台D一个圆柱、两个圆锥答案D解析从较短的底边的端点向另一底边作垂线，两条垂线把等腰梯形分成了两个直角三角形，一个矩形，所以一个等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周形成的是由一个圆柱，两个圆锥所组成的几何体，如图所示故选D.2给出下列命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的四棱柱一定是长方体；长方体一定是正四棱柱其中正确的命题个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析底面是菱形的直平行六面体，满足条件但
17、不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误故选A3一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是()A三棱锥 B四棱锥C五棱锥 D六棱锥答案D解析由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60，如果是六棱锥，因为660360，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥故选D.4(2022福建泉州高三模拟)在我国古代数学名著数学九章中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个
18、问题中，葛藤长的最小值为()A2丈4尺 B2丈5尺C2丈6尺 D2丈8尺答案C解析由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5210(尺)，因此葛藤长的最小值为26(尺)，即为2丈6尺故选C5一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为()A2 B2 C4 D8答案D解析由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，BOA45且OB2，那么在原图形中，BOA90且OB4，因此，原平面图形的面积为248，故选D.6正方体ABCDA1
19、B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点那么，正方体的过P，Q，R的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形答案D解析通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.7(2022湖北武汉高三月考)多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为V(顶点数)F(表面数)E(棱长数)2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯C60(结构图如图)是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个面为正五边形，20个面为正六边形除C60外具
20、有封闭笼状结构的富勒烯还可能有C28，C32，C50，C70，C84，C240，C540等，则C84结构含有正六边形的个数为()A12 B24 C30 D32答案D解析设分子中形状为正五边形和正六边形的面各有x个和y个，V84，Fxy，E3842.由欧拉公式VFE2，可得84xy38422，即xy44.又由多边形的边数可表示C84的棱数，即(5x6y)23842，即5x6y252，由解得故C84结构含有正六边形的个数为32.故选D.8过棱长为1的正方体的一条体对角线作截面，则截得正方体的截面面积的最小值是()A1 B C D答案D解析取AA1的中点E，CC1的中点F，连接BE，ED1，D1F，
21、FB，如图所示四边形BED1F为过棱长为1的正方体的一条体对角线BD1所作截面的面积最小的截面，且四边形BED1F是菱形，其截面面积为BD1EF.故选D.9如图所示，在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得APD1P取得最小值，则此最小值为()A2 BC2 D答案D解析如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BCD1，使其与AA1B在同一平面上，连接AD1，则AD1为所求的最小值故选D.10(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高
22、与底面正方形的边长的比值为()A BC D答案C解析如图，设CDa，PEb，则PO，由题意，得PO2ab，即b2ab，化简得42210，解得(负值舍去)故选C二、多项选择题11关于简单几何体的结构特征，下列说法正确的是()A棱柱的侧棱长都相等B棱锥的侧棱长都相等C三棱台的上、下底面是相似三角形D有的棱台的侧棱长都相等答案ACD解析根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等故选ACD.12对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D由一个长方体与两个四棱
23、台组合而成的答案AB解析如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，故A，B正确故选AB.三、填空题13(2021南通模拟)过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图1所示)，并在角上配了一个花结彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图2所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为221，则的值为_.答案解析设点心盒的长为2a(a0)，因为点心盒的长、宽、高之比为221，所以点心盒的宽、高分别为2a，a.如题图1，绳长l14a4a6a，如题
24、图2，绳长l242a4a12a，所以.14(2019全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为_.答案261解析先求面数，有如下两种解法解法一：由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有29826个面解法二：一般地，对于凸多面体
25、，顶点数(V)面数(F)棱数(E)2.(欧拉公式)由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.故由VFE2，得面数F2EV2482426.再求棱长.作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长连接AF，过H，G分别作HMAF，GNAF，垂足分别为M，N，则AMMHNGNFx.又AMMNNF1，xxx1.x1，即半正多面体的棱长为1.四、解答题15若已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求ABC的面积解如图所示是ABC的直观图ABC.作CDy轴交x轴于点D，则CD对应ABC的高CD，CD2CD
26、2CO2aa.而ABABa，SABCaaa2.16一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD.由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由(如图所示)题意知腰长AB12 cm，所以高AM3(cm)(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，则由SAO1SBO，可得，解得l20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.17如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子
27、绕圆台侧面转到A点求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，求上底面圆周上的点到绳子的最短距离解(1)如图，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度由，得OB20 cm，所以OA40 cm，OM30 cm.设BOB，由25OB，解得.所以AM50(cm)即绳子的最短长度为50 cm.(2)过点O作OQAM于点Q，交于点P，则PQ的长度为所求最短距离因为OAOMAMOQ，所以OQ24 cm.故PQ24204(cm)，即上底面圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.18(2021新高考八省联考)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲
28、性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为23，故其总曲率为4.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数棱数面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数解(1)由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和可以从整个多面体的角度考虑，所有与顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合由图可知，四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个面为三角形，1个面为四边形所以四棱锥的表面内角和为4个三角形，1个四边形的所有内角和，则其总曲率为25(42)4.(2)证明：设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有nlm2.设第i个面的棱数为xi，所以x1x2xm2l，所以总曲率为2n(x12)(x22)(xm2)2n(2l2m)2(nlm)4，所以这类多面体的总曲率是常数
