1、11.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系Q汉语是世界上美丽的语言对于同样的几个字、几个词，不同的排列方式，往往产生不同的效果在我们的校园里有着这样的宣传语：为了一切的孩子、为了孩子的一切、一切为了孩子，每一种表述有着不一样的意义同样地，数学也是美丽的语言，这其中是否也有着同样的文字，但不同的排列含义不一样呢？X1一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做_互逆命题_，其中一个命题叫做_原命题_，另一个叫做原命题的_逆命题_.2一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的
2、两个命题叫做_互否命题_，其中一个命题叫做_原命题_，另一个叫做原命题的_否命题_.3一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做_互为逆否命题_，其中一个命题叫做_原命题_，另一个叫做原命题的_逆否命题_.4四种命题的相互关系5(1)原命题为真，它的逆命题_不一定_为真(2)原命题为真，它的否命题_不一定_为真(3)原命题为真，它的逆否命题_一定_为真即互为逆否的命题是等价命题，它们同_真_同_假_，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为_逆否_的命题，它们同_真_同_假_.Y1命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形
3、是两条对角线相等的四边形”的(A)A逆命题B否命题C逆否命题D无关命题2当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是(C)A若q，则pB若p，则qC若q，则pD若p，则q解析“若p，则q”为真，其逆否命题“若q，则p”一定为真3若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的(C)A逆命题B否命题C逆否命题D以上都不对解析同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C4命题“对于正数a，若a1，则lg a0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数为(D)A0B1C2D4解析原命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆命题“对于正数a，lg a0，则
4、a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题5(2019山西太原高二期末)命题“如果xy3，那么x1且y2”的逆否命题是_如果x1或y2，则xy3_.解析命题“如果xy3，那么x1且y2”的逆否命题是“如果x1或y2，则xy3”H命题方向1命题的四种形式之间的转换典例1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等思路分析此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题解析(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”逆
5、命题：若一个数的平方是正数，则它是负数否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形规律方法关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命
6、题；(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写跟踪练习1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题(1)若x2y20，则x、y全为0；(2)若ab是偶数，则a、b都是偶数解析(1)逆命题：若x、y全为0，则x2y20；否命题：若x2y20，则x、y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2y20.(2)逆命题：若a、b都是偶数，则ab是偶数；否命题：若ab不是偶数，则a、b不都是偶数；逆否命题：若a、b不都是偶数，则ab不是偶数命题方向2四种命题的关系及真假判断典例
7、2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假(1)若ABA，则AB；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)若ab0，则a0或b0.思路分析找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题解析(1)逆命题：若AB，则ABA真命题；否命题：若ABA，则AB.真命题；逆否命题：若AB，则ABA真命题(2)逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线真命题；否命题：若两条直线不垂直于同一条直线，则它们不平行真命题；逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线假命题(3)逆命题：若a0或b0，则ab0.真命题；否命题：若ab0，则a0且b0.真命题；逆否命题：若a0，且b0，则
8、ab0.真命题规律方法1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验2当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的跟踪练习2设原命题：若ab2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(A)A原命题为真，逆命题为假B原命题为假，逆命题为真C原命题与逆命题均为真命题D原命题与逆命题均为假命题解析因为原命题“若ab2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命
9、题为“若a、b都小于1，则ab2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若ab2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则ab2”，是假命题，反例为a1.2，b0.3，故选A命题方向3正难则反，等价转化思想我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题典例3证明：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.思路分析已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题解析原命题的逆否命题为
10、“已知函数f(x)是(，)上的增函数，a、bR，若ab0，则f(a)f(b)f(a)f(b)”证明如下：若ab0，则ab，ba，又f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)f(a)f(a)f(b)0的解集是R，则a0的解集为R，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，a.所以原命题是真命题又互为逆否命题的两个命题同真同假，原命题的逆否命题为真命题X命题的间接证明当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断典例4关于命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bx
11、c0”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是(D)A都真B都假C否命题真D逆否命题真解析原命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc0”为真命题；逆命题“若x|ax2bxc0)；根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题为真故选D.规律方法由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的这种证法叫做逆否证法跟踪练习4求证：当a2b2c2时，a，b，c不可能都是奇数解析证明：构造命题p：若a2b2c2，则a，b，c不可能都是奇数该命题的逆否命题是：若a，b，c都是奇数，则a2b2c
12、2.下面证明逆否命题是真命题由于a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，于是a2b2必为偶数，而c2为奇数，所以有a2b2c2，故逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题Y分清命题的条件与结论典例5写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果ab，cd，则acbd”的逆命题、否命题，并判断它们的真假错解逆命题：如果acbd，则a、b、c、d是实数，且ab，cd.假命题否命题：如果a、b、c、d不是实数，ab，cd，则acbd.假命题错解分析上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件正解逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果acbd，则ab，cd.假命题否命题：已知
13、a、b、c、d是实数，如果ab，或cd，则acbd.假命题K1命题“若a0，则a1”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(C)A0 B1 C2D3解析逆命题：若a1，则a0，真命题否命题：若a0，则a1，真命题逆否命题：若a1，则a0，假命题故应选C2命题“若方程ax2bxc0(a0)的b24ac0，则方程无实根”的否命题的逆否命题是(B)A若方程ax2bxc0(a0)的b24ac0，则方程有两个实根B若方程ax2bxc0(a0)无实根，则其b2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假解析逆命题：已知a，bR，若ab，则a2b2；否命题：已知a，bR，若a2b2，则ab；逆否命题：已知a，bR，若ab，则a2b2.因为原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题因为逆命题是假命题，所以否命题也是假命题
