1、专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆1（2019年）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x+20相切（1）若A在直线x+y0上，求M的半径；（2）是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由【解析】（1）M过点A，B且A在直线x+y0上，点M在线段AB的中垂线xy0上，设M的方程为：（xa）2+（ya）2R2（R
2、0），则圆心M（a，a）到直线x+y0的距离d，又|AB|4，在RtOMB中，d2+（|AB|）2R2，即又M与x2相切，|a+2|R由解得或，M的半径为2或6；（2）线段AB为M的一条弦O是弦AB的中点，圆心M在线段AB的中垂线上，设点M的坐标为（x，y），则|OM|2+|OA|2|MA|2，M与直线x+20相切，|MA|x+2|，|x+2|2|OM|2+|OA|2x2+y2+4，y24x，M的轨迹是以F（1，0）为焦点x1为准线的抛物线，|MA|MP|x+2|MP|x+1|MP|+1|MF|MP|+1，当|MA|MP|为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为（1，0），存在定点P（1，0）
3、使得当A运动时，|MA|MP|为定值2（2018年）设抛物线C：y22x，点A（2，0），B（2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：ABMABN【解析】（1）当l与x轴垂直时，x2，代入抛物线解得y2，M（2，2）或M（2，2），直线BM的方程：yx+1，或：yx1（2）证明：设直线l的方程为l：xty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消x得y22ty40，即y1+y22t，y1y24，则有kBN+kBM+0，直线BN与BM的倾斜角互补，ABMABN3（2017年）设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横
4、坐标之和为4（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程【解析】（1）设A（x1，），B（x2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为k（x1+x2）41；（2）设直线AB的方程为yx+t，代入曲线C：y，可得x24x4t0，即有x1+x24，x1x24t，再由y的导数为yx，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m1，解得m2，即M（2，1），由AMBM可得，kAMkBM1，即为1，化为x1x2+2（x1+x2）+200，即为4t+8+200，解得t7则直线AB的方程为yx+74（2016年
5、）在直角坐标系xOy中，直线l：yt（t0）交y轴于点M，交抛物线C：y22px（p0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H（1）求；（2）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由【解析】（1）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），M关于点P的对称点为N，t，N（，t），ON的方程为yx，与抛物线方程联立，解得H（，2t）2；（2）由（1）知kMH，直线MH的方程为yx+t，与抛物线方程联立，消去x可得y24ty+4t20，16t244t20，直线MH与C除点H外没有其它公共点5（2015年）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x2）2+（y3）21
6、交于点M、N两点（1）求k的取值范围；（2）若12，其中O为坐标原点，求|MN|【解析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程为ykx+1，即kxy+10由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R1故由1，故当k，过点A（0，1）的直线与圆C：（x2）2+（y3）21相交于M，N两点（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为ykx+1，代入圆C的方程（x2）2+（y3）21，可得 （1+k2）x24（k+1）x+70，x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+1）（kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1k2+k+1，
7、由x1x2+y1y212，解得 k1，故直线l的方程为 yx+1，即 xy+10圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径所以|MN|26（2014年）已知点P（2，2），圆C：x2+y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积【解析】（1）由圆C：x2+y28y0，得x2+（y4）216，圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4设M（x，y），则，由题意可得：即x（2x）+（y4）（2y）0整理得：（x1）2+（y3）22M的轨迹方程是（x1）2+（y3）22（2）由（1）知M的轨迹是以点N（
8、1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPMkON3，直线l的斜率为直线PM的方程为，即x+3y80则O到直线l的距离为又N到l的距离为，|PM|7（2013年）已知圆M：（x+1）2+y21，圆N：（x1）2+y29，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|【解析】（1）由圆M：（x+1）2+y21，可知圆心M（1，0）；圆N：（x1）2+y29，圆心N（1，0），半径3设动圆的半径为R，动圆P与圆M外切并与圆
9、N内切，|PM|+|PN|R+1+（3R）4，而|NM|2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，a2，c1，b2a2c23曲线C的方程为（x2）（2）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|PN|2R2312，所以R2，当且仅当P的圆心为（2，0），R2时，其半径最大，其方程为（x2）2+y24l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|若l的倾斜角不为90，由于M的半径1R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（4，0），所以可设l：yk（x+4），由l于M相切可得：，解得当时，联立，得到7x2+8x80，|AB|，由于对称性可知：当时，也
10、有|AB|综上可知：|AB|或8（2012年）设抛物线C：x22py（p0）的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点（1）若BFD90，ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边|BD|2p点A到准线l的距离，ABD的面积SABD，解得p2，所以F坐标为（0，1），圆F的方程为x2+（y1）28（2）由题设（），则，A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称由点A，B关于点F对称得：
11、，得：，直线：， 切点， 直线：，坐标原点到m，n距离的比值为：9（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x+1与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线xy+a0交与A，B两点，且OAOB，求a的值【解析】（1）法一：曲线yx26x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（32，0）可知圆心在直线x3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t1）2（2）2+t2，解得t1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x3）2+（y1）29法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F0，x0，y1有1+E+F0，y0，x2 6x+10与x2+Dx+F0是
12、同一方程，故有D6，F1，E2，即圆方程为x2+y26x2y+10（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a8）x+a22a+10，由已知可得判别式5616a4a20在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x24a，x1x2，由于OAOB可得x1x2+y1y20，又y1x1+a，y2x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a20由可得a1，满足5616a4a20故a110（2010年）设F1，F2分别是椭圆E：x2+1（0b1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值【解析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4，又2|AB|AF2|+|BF2|，得（2）的方程式为yx+c，其中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+12b20则， 因为直线AB的斜率为1，所以，即则解得
