1、第3讲全称量词与存在量词1全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“”表示(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为xM，p(x).(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为xM，p(x).2含有一个量词的命题的否定 命题命题的否定xM，p(x)xM，綈p(x)xM，p(x)xM，綈p(x)1含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”2常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语等于()大于()小于(2n，则綈p
2、为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n答案C解析命题p是存在量词命题，故綈p是全称量词命题，又“”的否定是“”，因此綈p为“nN，n22n”2(2021山东日照模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为()A所有正方形都不是平行四边形B有的平行四边形不是正方形C有的正方形不是平行四边形D不是正方形的四边形不是平行四边形答案C解析全称量词命题的否定为存在量词命题，即綈p为“有的正方形不是平行四边形”3下列四个命题中是真命题的是()AxZ,14x0答案D解析A中，x，与xZ矛盾，不成立；B中，x，与xZ矛盾；C中，x1时，x210；D是真命题4(2022
3、福建宁德质检)若命题“xR，x2(a1)x10”是真命题，则实数a的取值范围是()A1,3B(1,3)C(，13，)D(，1)(3，)答案D解析因为命题“xR，x2(a1)x10，即a22a30，解得a3.5“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_.答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形解析全称量词命题的否定是存在量词命题故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形6(2021合肥调研)能说明命题“xR且x0，x2”是假命题的x的值可以是_(写出一个即可)答案1解析由于当x0时，x2，当且仅当x1时等号成立，当x0CxR，lg x0恒成立，所以B是真命题；当0x10时，lg x1，所以C
4、是真命题；因为sinxcosxsin，所以sinxcosx，所以D是假命题故选D.(2)(多选)(2022江西师大附中月考)下列命题为假命题的是()AxR，ln (x21)2,2xx2C，R，sin()sinsinDx(0，)，sinxcosx答案ABD解析x211，ln (x21)0，故A是假命题；当x3时，2332，故B是假命题；当0时，sin()sinsin，故C是真命题；当x(0，)时，sinx，cosx，sinx0BxN*，(x1)20CxR，lg x1DxR，tanx2答案ACD解析由指数函数的性质知，A是真命题；当x1N*时，(x1)20，故B是假命题；当x时，lg x11，故C
5、是真命题；正切函数ytanx的值域为R，故xR，tanx2，D是真命题2(多选)(2021厦门外国语学校期中)有如下命题，其中真命题是()Ax(0，)，xxBx(0,1)，logxlogxCx(0，)，xlogxDx，xl logx答案BD解析当x0时，y的图象永远在y的图象上方，因此A错误；当0x1时，ylogx的图象永远在ylogx的图象上方，因此B正确；当x时， 1log，因此C错误；当0x时，logx1，因此D正确故选BD.考向二含有量词的命题的否定例2(1)(2021常州一模)设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是()A所有常数数列都不是等比数列B有的常数数列不是等比数列C有的
6、等比数列不是常数数列D不是常数数列的数列不是等比数列答案B解析全称量词命题的否定是存在量词命题故綈p是有的常数数列不是等比数列(2)(2022山东德州调研)命题“xR,1f(x)2”的否定形式是()AxR,1f(x)2BxR,12DxR，f(x)1或f(x)2答案D解析存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“xR，f(x)1或f(x)2”故选D. 写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤(1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的位置及相应结论(2)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写(3)
7、否定结论：对原命题的结论进行否定3.(2022衡水月考)设非空集合P，Q满足PQP，则()AxQ，有xPBxQ，有xPCxQ，使得xPDxP，使得xQ答案B解析因为PQP，所以PQ，所以xQ，有xP.故选B.4(2022商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A任意一个有理数，它的平方是有理数B任意一个无理数，它的平方不是有理数C存在一个有理数，它的平方是有理数D存在一个无理数，它的平方不是有理数答案B解析根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”考向三由命题的真假求参数的取值范围
8、例3(1)(2021郑州第一次质量预测)若命题“xR，使得3x22ax10”是假命题，则实数a的取值范围是_.答案，解析命题“xR，使得3x22ax11，x2)若x2，)，使f(x)m成立，则实数m的取值范围为_；若x12，)，x22，)，使得f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围为_.答案3，)(1，解析因为f(x)xx11213，当且仅当x2时等号成立所以若x2，)，使f(x)m成立，则实数m的取值范围为3，)因为当x2时，f(x)3，g(x)a2，若x12，)，x22，)，使得f(x1)g(x2)，则a23且a1，解得a(1， 根据命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称量词命题可转化
9、为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决5.已知命题p：x(0,1)，exa0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是()Aa1 BaeCa1 Dae答案B解析由已知，得綈p：x(0,1)，exaex对x(0,1)恒成立，因为当x(0,1)时，ex(1，e)，所以ae.6(2022广西钦州质检)已知命题p：“xR,4x2x1m0”若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是_.答案(，1解析因为命题綈p是假命题，所以p是真命题，即xR,4x2x1m0，所以m4x2x1，xR有解即可令y4x2x1(2x)222x,2x0，利
10、用二次函数的性质可知y1，故m1.一、单项选择题1(2021枣庄二模)命题“nN，n21Q”的否定为()AnN，n21Q BnN，n21QCnN，n21Q DnN，n21Q答案C解析“nN，n21Q”的否定为“nN，n21Q”2(2022惠州摸底)已知命题p：mR，f(x)2xmx是增函数，则綈p为()AmR，f(x)2xmx是减函数BmR，f(x)2xmx是减函数CmR，f(x)2xmx不是增函数DmR，f(x)2xmx不是增函数答案D解析由存在量词命题的否定可得綈p为“mR，f(x)2xmx不是增函数”3(2021辽宁沈阳模拟)费马大定理又被称为“费马最后的定理”，即当整数n2时，关于x，
11、y，z的方程xnynzn没有正整数解用n3来验证，命题“x，y，zN*，x3y3z3”的否定为()Ax，y，zN*，x3y3z3Bx，y，zN*，x3y3z3Cx，y，zN*，x3y3z3Dx，y，zN*，x3y3z3答案D解析全称量词命题的否定是存在量词命题，其否定的步骤是：第一步，改变量词；第二步，否定结论故选D.4(2022江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()AxR，f(x)f(x)BxR，f(x)f(x)CxR，f(x)f(x)DxR，f(x)f(x)答案C解析设命题p：xR，f(x)f(x)，f(x)不是偶函数，p是假命题，则綈p是
12、真命题，又綈p：xR，f(x)f(x)，故选C.5(2022广东湛江月考)已知f(x)sinxtanx，命题p：x，f(x)0，则()Ap是假命题，綈p：x，f(x)0Bp是假命题，綈p：x，f(x)0Cp是真命题，綈p：x，f(x)0Dp是真命题，綈p：x，f(x)0答案C解析当x时，sinx1.此时sinxtanx0，故命题p为真命题由于命题p为存在量词命题，所以命题p的否定为全称量词命题，则綈p为x，f(x)0.6(2022云南玉溪二调)已知函数f(x)x，则()AxR，f(x)0Bx(0，)，f(x)0Cx1，x20，)，f(x2)答案B解析幂函数f(x)x的值域为0，)，且在定义域上
13、单调递增，故A，C错误，B正确；D中当x10时，结论不成立7(2022河南信阳调研)已知命题p1：存在aR，使函数y2xa2x在R上为偶函数；p2：xR，sin2cos2；p3：对任意xR，x40.其中真命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析p1是真命题因为当a1时，y2x2x在R上为偶函数；p2是假命题因为xR，sin2cos21；p3是假命题因为x时，45，x40对任意xR都成立综上，真命题的个数为2.8(2022济南质检)已知命题“xR,4x2(a2)x0”是假命题，则实数a的取值范围为()A(，0) B0,4C4，) D(0,4)答案D解析因为命题“xR,4x2(a2)x0”
14、是假命题，所以“xR,4x2(a2)x0”是真命题则(a2)244a24a0，解得0a4.9(2022正定摸底)已知命题p：aD，命题q：xR，x2axa3，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为()A(，62，)B(，4)(0，)C(6,2)D4,0答案B解析命题q：xR，x2axa3，则x2axa30，所以a24(a3)0，解得a6或a2，又p是q成立的必要不充分条件，所以(，62，)D，所以区间D可以为(，4)(0，)，故选B.10(2022大庆月考)下列命题中的真命题是()AxR，sinxx1Cx(，0)，2xcosx答案B解析由知，A是假命题；设f(x)exx1，则f(x)ex
15、1，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上为增函数，又f(0)0，x(0，)，f(x)0，即exx1，故B是真命题；当x0时，y2x的图象在y3x的图象上方，故C是假命题；当x时，sinxcosx，故D是假命题故选B.二、多项选择题11(2021济南调研)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有()AxR，x2x0B所有的正方形都是矩形CxR，x22x20D至少有一个实数x，使x310答案AC解析对于A，xR，x2x0的否定是xR，x2x0，是全称量词命题，由x2x20知，此命题是真命题；对于B，所有的正方形都是矩形的否定是存在一个正方形，它不是矩形，是存在量词命题；对于C，x
16、R，x22x20的否定是xR，x22x20，是全称量词命题由224120)，x11,2，x21,2，使g(x1)f(x2)，则实数a的取值范围是_.答案解析设f(x)x22x，g(x)ax2(a0)在1,2上的值域分别为A，B，则A1，3，Ba2,2a2，由题意可知a，又a0，00恒成立，命题q：x2，2，2a2x，若命题p和q都成立，则实数a的取值范围为_.答案解析当命题p成立时，x2xa1恒成立，即x2xa10恒成立，所以14(a1)；当命题q成立时，2a(2x)max，又x2,2，所以a2.故a2，所以实数a的取值范围为.四、解答题17已知命题“x，使得2x2x10成立”是假命题，求实数
17、的取值范围解因为命题“x，使得2x2x12x成立”是假命题，则命题“x，使得2x成立”是真命题，因为x，所以当x时，2x取最小值2，故实数的取值范围为(，218(2022苏州月考)已知mR，命题p：对任意x0,1，不等式2x2m23m恒成立；命题q：存在x1,1，使得max成立(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a1时，若命题p和q中只有一个为真，求m的取值范围解(1)对任意x0,1，不等式2x2m23m恒成立，(2x2)minm23m，即m23m2.解得1m2.若p为真命题，则m的取值范围是1,2(2)a1，且存在x1,1，使得max成立，mx，命题q为真时，m1.p，q中一个是真命题，一个是假命题当p真q假时，则解得1m2；当p假q真时，即m1.综上所述，m的取值范围为(，1)(1,2
