1、第六章 不等式 第 讲 考点搜索应用均值不等式求最值应用不等式求范围不等式与函数不等式与平面几何、立体几何不等式与解析几何不等式在实际问题中的应用恒成立不等式的常用解决方法高考猜想运用不等式的性质和方法解决一些涉及不等关系(特别是函数中的有关问题，如单调性等)以及实际问题等，是不等式知识应用的重要体现，是高考的热点，各种题型都有，各种难度都有可能，因此应予以特别的关注.一、不等式的主要应用不等式在中学数学中有着广泛的应用，其中主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；(6)解决与不等式有关的应用性问题等
2、.其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点.二、建立不等式的主要途径(1)利用问题的几何意义；(2)利用判别式；(3)利用函数的有界性；(4)利用函数的单调性.1.设那么M、N的大小关系是()A.MNB.M=NC.MND.不能确定解：由(注意a1，a3),所以MN.A21211(23),log()(),-216MaaNxxRa 1123,(-2)2 224-2-2aMaaaa 2112211log()log4.1616Nx2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()解:设一段长为x cm,则另一段长为(
3、12-x)cm,则D22223A.3 B.4 2C.3 2 D.2 3 cmcmcmcm222233 12-3()()(-1272)4343183(-6)362 3.18xxSxxx3.若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数解，则实数a的取值范围是_.解：令t=2x(t0)，则原方程化为t2+at+a+1=0，变形得212-(1)-211-(2 2-2)2-2 2.tattt(,2-2 21.(1)求函数(x-1)的最小值;(2)已知x0，y0且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及相应的x、y的值.解：(1)因为x-1，所以x+10.所以题型1 不等式在纯数学问题中的应用2710
4、1xxyx22710(1)5(1)41144(1)52(1)59,11xxxxyxxxxxx当且仅当x+1=即x=1时,等号成立.所以当x=1时,函数(x-1)的最小值为9.(2)因为x0，y0，且3x+4y=12，所以所以lgx+lgy=lgxylg3，当且仅当3x=4y=6，即x=2，y=时等号成立.所以当x=2，y=时，lgx+lgy取最大值lg3.4,1x 27101xxyx323221134(3)(4)()3.12122xyxyxy点评：不等式、方程、函数等知识的结合是代数知识综合的一个主要方面，利用不等式研究函数、数列等有关问题，体现了不等式的工具性.如本题就是充分利用均值不等式的
5、性质，得出函数式的最值.已知函数f(x)=(x0).(1)判断f(x)在(0，+)上的单调性,并证明;(2)解关于x的不等式f(x)0;(3)若f(x)+2x0在(0，+)上恒成立，求a的取值范围.解：(1)因为f(x)=-0，所以f(x)在(0，+)上为减函数.(2)由f(x)0,得即当a0时,不等式的解集为x|0 x2a;12-ax22x12-0,ax-20.xaax当a0时，原不等式化为其解集为x|x0.(3)若f(x)+2x0在(0，+)上恒成立，即所以因为+2x4，所以4，解得a0或a .故a的取值范围是(-，0)，+).-20,xax12-20,xax122.xax2x1a14 1
6、42.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建.在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).题型2 不等式在实际问题中的应用(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.解：(1)如图，设矩形的另一边长为a m.则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360,由已知xa=360，得a=,所以360 x236022
7、5-360(0).yxxx(2)因为x0,所以所以当且仅当时，等号成立.即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.点评：求解不等式的应用题，一般先建立相应的函数关系，然后转化为利用不等式去求函数的最值，或比较几个式子的值.注意合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式.223602252 225 36010800.xx2360225-360 10440.yxx2360225xx某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地的价格为2.4万元.为了减少耕地损失，政府部门决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少2.5t万亩.为了既减少耕地损失，又保证此项
8、税收一年不少于9000万元，则t的取值范围是.解：据题意，得即整理，得t2-8t+150，所以3t5.45(20-)102.49000,2100tt5(20-)24900,2tt汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.参 考 题参 考 题题型解不等式在应用题中的应用事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1x+0.01x2，s乙=0.05x+0.005x2.问超速行驶应负主要责任的是谁？解：由s甲=0.1x+0.01x212,得x30或x-40;由s乙=0.05x+0.005x210,得x40或x-50.由于x0,从而可得x甲30 km/h,x乙40 km/h.经过比较知乙车超过限速，应负主要责任.在利用函数观点处理有关问题时，要注意如下结论的运用：设f(x)的定义域为m，n(mn)，值域为A，B(AB).若f(x)a在定义域上恒成立，则aA;若f(x)a在定义域上恒成立，则aB.
