1、第七章 直线与圆的方程 第 讲（第二课时）题型3 求线性规划中的参数值或取值范围1.已知集合A=(x，y)|y|x-2|，B=(x，y)|y-|x|+b，且AB.(1)求b的取值范围;(2)若(x,y)AB,且x+2y的最大值为8,求b的值.12解：(1)分别画出不等式y|x-2|和y-|x|+b所表示的平面区域,如图.因为AB，由图可知,b1，所以b的取值范围是1,+).(2)平移直线x+2y=0，由图可知，当这条直线经过点(0，b)时，x+2y取得最大值.所以0+2b=8，所以b=4.12点评：在线性规划中，一般所取的最值与交点有关，即最优解一般与交点的坐标有关.而最优解的个数一般与线性约
2、束条件中的直线的斜率有关，特别是求目标函数的含参斜率中的参数的取值范围问题，就与三条边界线有关.这种类型的问题体现了知识的逆向思维性和发散思维性.给出平面区域如右图所示，目标函数t=ax-y.(1)若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值,求此时a的值;(2)若当且仅当时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围.2,3x 45y 解：(1)由t=ax-y得y=ax-t.要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，则y=ax-t与BC或AC重合.所以或(2)由kACakBC，得4-135-;210-03BCak4-0125-.25-13ACak123-.510a2.某纺纱厂生产甲、
3、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨，二级子棉1吨；生产乙种棉纱1吨需耗一级子棉花1吨，二级子棉2吨.生产甲、乙两种棉纱的利润分别为每吨600元、900元.计划生产这两种棉纱消耗一级子棉不超过300吨，二级子棉不超过240吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨才能使利润总额最大？最大利润是多少?解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，总利润为z元.题型4 线性规划在实际问题中的应用依据题意，且z=600 x+900y.作可行域，如图中阴影部分.由得当直线l:600 x+900y=z经过点M(120，60)时,z最大,此时z=600120+90060=126000(元).答：生产甲种棉
4、纱120吨、乙种棉纱60吨时,才能使利润总额最大，最大利润为12.6万元.23002240,0 xyxyx y 2300,2240 xyxy 120.60 xy点评：线性规划在实际应用中较为广泛，利用线性规划解决应用问题可按下列步骤进行：找到约束条件组，作出可行域；设所求的目标函数f(x，y)=m；将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值或最小值，或求直线f(x，y)=m在y轴上截距的最值，从而得到m的最值.如果使目标函数取得最值的点M(x0，y0)不是整数解,而x0、y0要求是整数,一般在确定与M点较近的两个点后,将此两点的坐标代入目标函数计算进行比较,从而确定其最优整数解.本公司计划20
5、12年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大?最大收益是多少万元？解：设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元.由题意得目标函数为z=3000 x+2000y.二元一次不等式组等价于30050020090000,0,0 xyxyxy 30052900,0,0 xyxyxy作出不等式组所表示的平面区域，即可
6、行域，如图.作直线l0:3000 x+2000y=0，即3x+2y=0.平移直线l0，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.联立解得300,52900 xyxy100.200 xy所以点M的坐标为(100，200).所以zmax=3000100+2000200=700000(元).答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.3.将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：现在需要A、B、C三种规格的钢管分别为13、16、18根，问应分别截甲、乙两种钢管各多少根，才能使
7、材料利用率最高？题型5 线性规划中的整点问题A规格B规格C规格甲种钢管211乙种钢管123解：设截甲、乙两种钢管分别为x根、y根，z=x+y，依题意得作可行域，由图知，当直线x+y=z过点A时，z为最小.2213316418,*.xyxyxyx yN由得所以点因为x，yN*，在可行域内与点A邻近的整点有(4，4)，(4，5).显然(4，4)是最优解，且zmin=8.故分别截取甲、乙两种钢管各4根，才能使材料利用率最高.418,316xyxy 3811,4611xy38 46(,).11 11A某校高二(1)班举行元旦文艺晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们
8、截成A、B、C三种规格.甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A规格B规格C规格甲种彩绳211乙种彩绳123今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元,则且z=8x+6y.作可行域，由图可知，直线l经过可行域内的点A时，z最小.215218,327,xyxyxyx yN由得所以点A(3.6,7.8).因为x,yN，在可行域内与点A邻近的整点有(3,9),(4,8).显然(3,9)是最优解，且zmin=78.答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少.215,327xyxy 3.6,7.8xy1.解线性规划应用题的一般步骤：设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数；利用图象在约束条件下找出决策变量使目标函数达到最大或最小.2.若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整.其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据,在直线附近寻找与此直线距离最近的整点,不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少,逐个检验亦可.
