1、02 函数的概念与基本初等函数1【2022年全国甲卷】函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x3x)cosx,x2,2，则f(x)=(3x3x)cos(x)=(3x3x)cosx=f(x)，所以f(x)为奇函数，排除BD；又当x(0,2)时，3x3x0,cosx0，所以f(x)0，排除C.故选：A.2【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m11,b=8m9，则（）Aa0bBab0Cba0Db0a【答案】A【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可
2、知m=log9101，再利用基本不等式，换底公式可得mlg11，log89m，然后由指数函数的单调性即可解出【详解】由9m=10可得m=log910=lg10lg91，而lg9lg11lg9+lg1122=lg9922lg11lg10，即mlg11，所以a=10m1110lg1111=0又lg8lg10lg8+lg1022=lg8022lg10lg9，即log89m，所以b=8m90b故选：A.3【2022年全国乙卷】如图是下列四个函数中的某个函数在区间3,3的大致图像，则该函数是（）Ay=x3+3xx2+1By=x3xx2+1Cy=2xcosxx2+1Dy=2sinxx2+1【答案】A【解析
3、】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设f(x)=x3xx2+1，则f(1)=0，故排除B;设(x)=2xcosxx2+1，当x(0,2)时，0cosx1，所以(x)=2xcosxx2+10，故排除D.故选：A.4【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2x)=5,g(x)f(x4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（）A21B22C23D24【答案】D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x2)=2，从而得到f3+f5+f21=10，f4+f6+f22=10，然后
4、根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到f1的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2x=gx+2，因为g(x)f(x4)=7，所以g(x+2)f(x2)=7，即g(x+2)=7+f(x2)，因为f(x)+g(2x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x2)=5，即f(x)+f(x2)=2，所以f3+f5+f21=25=10，f4+f6+f22=25=10.因为f(x)+g(2x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=2f0=3.因为g(x)f(x4)=7，所以g(x+4)f(x)=7，又因为f(x)+
5、g(2x)=5，联立得，g2x+gx+4=12，所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g3=6因为f(x)+g(x+2)=5，所以f1=5g3=1.所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+f21+f4+f6+f22=131010=24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(xy)=f(x)f(y),f(1)=1，则k=122f(k)=（）A3B2C0D1【答案】A【解析】【分
6、析】根据题意赋值即可知函数fx的一个周期为6，求出函数一个周期中的f1,f2,f6的值，即可解出【详解】因为fx+y+fxy=fxfy，令x=1,y=0可得，2f1=f1f0，所以f0=2，令x=0可得，fy+fy=2fy，即fy=fy，所以函数fx为偶函数，令y=1得，fx+1+fx1=fxf1=fx，即有fx+2+fx=fx+1，从而可知fx+2=fx1，fx1=fx4，故fx+2=fx4，即fx=fx+6，所以函数fx的一个周期为6因为f2=f1f0=12=1，f3=f2f1=11=2，f4=f2=f2=1，f5=f1=f1=1，f6=f0=2，所以一个周期内的f1+f2+f6=0由于2
7、2除以6余4，所以k=122fk=f1+f2+f3+f4=1121=3故选：A6【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.7【2021年甲卷文科】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据
8、为（）（）A1.5B1.2C0.8D0.6【答案】C【解析】【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，则.故选：C.8【2021年甲卷文科】设是定义域为R的奇函数，且.若，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.【详解】由题意可得：，而，故.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.9【2021年甲卷理科】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（）ABCD【答案】D【解析】【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数
9、解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案【详解】因为是奇函数，所以；因为是偶函数，所以令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以思路一：从定义入手所以思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期所以故选：D【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果10【2021年乙卷文科】设函数，则下列函数中为奇函数的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不
10、是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11【2021年乙卷理科】设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】,所以;下面比较与的大小关系.记,则,，由于所以当0x0时,所以,即函数在0,+)上单调递减，所以,即,即bc;综上，,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中
11、的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.12【2021年新高考2卷】已知，则下列判断正确的是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.13【2021年新高考2卷】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其
12、它三个选项未知.故选：B.14【2020年新课标1卷理科】若，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.【详解】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，此时，有当时，此时，有，所以C、D错误.故选：B.【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.15【2020年新课标1卷文科】设，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基
13、础题目.16【2020年新课标2卷理科】设函数，则f(x)（）A是偶函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的
14、判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.17【2020年新课标2卷理科】若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.18【202
15、0年新课标2卷文科】设函数,则（）A是奇函数，且在(0,+)单调递增B是奇函数，且在(0,+)单调递减C是偶函数，且在(0,+)单调递增D是偶函数，且在(0,+)单调递减【答案】A【解析】【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增故选：A【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题19【2020年新课标3卷理科】Logistic模型是常用数学模型之一，可
16、应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln193）A60B63C66D69【答案】C【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.20【2020年新课标3卷理科】已知5584，13485设a=log53，b=log85，c=log138，则（）AabcBbacCbcaDcab【答案】A【解析】【分析】由题意可得、，利用作
17、商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、的大小关系.【详解】由题意可知、，；由，得，由，得，可得；由，得，由，得，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.21【2020年新课标3卷文科】设，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】分别将,改写为，再利用单调性比较即可.【详解】因为，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.22【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是
18、新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) （）A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初
19、始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.23【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.【点睛】本题考查利
20、用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.24【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.25【2022年新高考1卷】已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(x)，若f322x，g(2+x)均为偶函数，则（）Af(0)=0Bg12=0Cf(1)=f(4)Dg(1)=g(2)【答案】BC【解析】【分析】转化题设条
21、件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为f(322x)，g(2+x)均为偶函数，所以f(322x)=f(32+2x)即f(32x)=f(32+x)，g(2+x)=g(2x)，所以f(3x)=f(x)，g(4x)=g(x)，则f(1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f(x)，且函数f(x)可导，所以g(32)=0,g(3x)=g(x)，所以g(4x)=g(x)=g(3x)，所以g(x+2)=g(x+1)=g(x)，所以g(12)=g(32)=0，g(1)=g(1)=g(2)，故B正
22、确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.26【2021年新高考2卷】设正整数，其中，记则（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】利用的定义可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.【详解】对于A选项，所以，A选项正确；对于B选项，取，而，则，即，B选项错误；对于C选项，所以，所以，因此，C选项正确；对于D选项，故，D选项正确.故选：AC
23、D.27【2022年全国乙卷】若fx=lna+11x+b是奇函数，则a=_，b=_【答案】 12； ln2【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出【详解】因为函数fx=lna+11x+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称由a+11x0可得，1xa+1ax0，所以x=a+1a=1，解得：a=12，即函数的定义域为,11,11,+，再由f0=0可得，b=ln2即fx=ln12+11x+ln2=ln1+x1x，在定义域内满足fx=fx，符合题意故答案为：12；ln228【2021年新高考1卷】已知函数是偶函数，则_.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：129【2021年新高考1卷】函数的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由解析式知定义域为，讨论、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，当时，此时单调递减；当时，有，此时单调递减；当时，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，综上有：时，单调递减，时，单调递增；故答案为：1.30【2021年新高考2卷】写出一个同时具有下列性质的函数_；当时，；是奇函数【答案】（答案不唯一，均满足）【解析】【分析】根据幂函数的性质可得所求的.【详解】取，则，满足，时有，满足，的定义域为，又，故是奇函数，满足.故答案为：（答案不唯一，均满足）
