1、5.1 向量的概念、向量的加法、减法、实数与向量的积复习要求1、理解有关向量的概念，掌握向量加减法作图。2、掌握实数与向量的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件3、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。4、培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。双基回顾1、基本概念向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2、加法与减法的代数运算(1)(2)若a=（）,b=（）则ab=（）向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量=+,=,= 且有+向量加法有如下规律
2、：=(交换律); +(+c)=(+ )+c （结合律）; +0= ()=0.3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。(1)=;(2) 当0时，与的方向相同；当0时，与的方向相反；当=0时，=0 (3)若=（），则=（）两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b=(2) 若=（）,b=（）则b平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得=e1+ e2一、知识点训练：1、两向量共线是两向量相等的_A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件2、当
3、且不共线时，与的关系是_A 平行 B 垂直 C 相交但不垂直 D 相等3、给出以下四个命题：(1)若两非零向量，使得，那么；(2)若两非零向量，则；(3)若，则；(4)若，则与共线。其中正确命题的个数是_A 1 B 2 C 3 D 44、向量与共线且方向相同，则=_5、设平行四边形ABCD的对角线交于O，交，则=_二、典型例题分析：1、G是的重心，求证：2、若非零向量满足，求与所成角的大小。3、已知,且，求M,N的坐标和4、已知向量且，求5、如图：已知ABCD是正方形，BE/AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F，求证：AF=AE。三、课堂练习：1如图，已知四边形ABCD是梯形，AB
4、CD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB与CD 的中点，则等于（ C ）ABCD2下列说法正确的是（ B ）A方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为0C长度相等的向量叫相等向量D共线向量是在同一条直线上的向量3在ABC中，D、E、F分别BC、CA、AB的中点，点M是ABC的重心，则 等于（ C ）ABCD4不共线，当k= 时，共线.5非零向量，则的夹角为 120 .6在四边形ABCD中，若,则四边形ABCD的形状是 菱形 .5.2 向量的数量积复习要求1、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的充要条件。2、培养学生的化归
5、思想、数形结合思想和分析问题、解决问题的能力。双基回顾（1）向量的夹角：已知两个非零向量与b，作=, =b,则AOB= （）叫做向量与b的夹角。（2）两个向量的数量积：已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则b=bcos其中bcos称为向量b在方向上的投影（3）向量的数量积的性质：若=（）,b=（）则e=e=cos (e为单位向量);bb=0（，b为非零向量）;=;cos=(4) 向量的数量积的运算律：b=b;()b=(b)=(b);(b)c=c+bc一、知识点训练：1、对于任意向量,与的大小关系是_A C D 无法确定2、已知，且与垂直，则与的夹角为_A 60 B 90 C 45 D 303、
6、设是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(1)(2) (3)不与垂直(4)中，是真命题的有_A (1)(2) B (2)(3) C (3)4) D (2)4)4、已知且起点为(1,2)，终点为，则=_5、已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_A B C D 二、典型例题分析：1、判断下列各命题正确与否；(1)若，则；(2)若，则当且仅当时成立；(3)对任意向量都成立；(4)对任一向量，有2、三角形ABC中，A(5,1)，B(1,7)，C(1,2)，求：（1）BC边上的中线AM的长。(2)CAB的平分线AD的长。(3)cosABC的值。3、已知点A(1,2)和B(4，1)，问能否在轴上找到一点
7、C，使ACB=90，若不能，说明理由，若能，求出C点坐标。4、设,求满足的的坐标(O为原点)5、a、b为非零向量，当a + tb(tR)的模取最小值时，（1） 求t的值； （2）求证：b与a + tb垂直三、课堂练习：1设kR，下列向量中，与向量一定不平行的向量是（ ）ABC D2已知点A1、A2、A3、A4的坐标分别为、则的 坐标与的坐标及的坐标这和等于（ ）A（x4x1，y4y1） B（x1x4，y1y4） C（x3x2，y3y2） D（x2x4，y2y3）3已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0），（3，0），（1，5），则第四个点的坐 标为（ ）A（1，5）或（5，5）B（1，5）
8、或（3，5）C（5，5）或（3，5）D（1，5）或（3，5）或（5，5）4三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的主要条件是（ ）Ax1y2x2y1=0B（x2x1）（y3y1）=（x3x1）（y2y1）Cx1y3x3y1=0 D（x2x1）（x3x1）=（y2y1）（y3y1）5下列各组向量中：, ; , ; , . 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是（ ）ABCD6已知，若平行，则= 1 . (附15答案：C A D B A)5.3 两点间的距离公式、线段的定比分点与图形的平移复习要求1、掌握两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，并能
9、熟练应用。2、掌握平移公式。3、培养学生用化归思想解决问题的能力。双基回顾1、P分有向线段所成的比设P1、P2是直线上两个点，点P是上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数使=，叫做点P分有向线段所成的比。当点P在线段上时，0；当点P在线段或的延长线上时，0；2、分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则 （1）， 中点坐标公式：3、平移公式：一、知识点训练：1、已知A(1,1)，B(3,5)，点P分有向线段所成的比为，则点P的坐标为_A (7,9) B (7,9) C (7,9) D (7，9)2、把函数的图象F按，平移到F/，则F/的函数式为_A B C D 3、设A、B、C
10、三点共线，且它们的纵坐标分别为2,5,10，则A点分所得的比为_A B C D 4、已知，C为上距A较近的一个三等分点，D为上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为_A B C D 二、典型例题分析：1、已知点A，B(5,2)，线段AB上的三等分点依次为，求点的坐标以及A、B分所成的比。2、求证：三角形三条中线交于一点，且交点与各顶点的距离等于所在中线长的。3、函数的图象按向量平移后，图象的解析式为，求向量。4、设函数。(1) 试根据函数的图象作出的图象，并写出交换过程；(2) 的图象是中心对称图形吗？(3) 指出的单调区间。5、如图，是的三条高，求证：相交于一点。ABCDEFH证：设交于
11、一点，,则得，即， ，又点在的延长线上，相交于一点。三、课堂练习：1、向量满足，则的最大值和最小值是_2、若点P分所成的比是，则点A分所成的比是_3、把一个函数的图象左移个单位，再向下平移2个单位得到的解析式为：，则原函数的解析式为_4、 已知，与的夹角，则_；5、 已知，在上的投影是，则_；6、已知，则与的夹角_5.4 向量的应用复习要求理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力。双基回顾1.两个向量平行的充要条件,设a=(x1,y1),b=(x2,y2),为实数。（1）向量式：ab(b0)a=b;（2）坐标式：ab(b0)
12、x1y2x2y1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), （1）向量式：ab(b0)ab=0; （2）坐标式：abx1x2+y1y2=0;3.设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；4.设A（x1,x2）、B(x2,y2)，则SAOB；5.平面向量数量积的坐标表示：（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2;（2）若a=(x,y),则a2=aa=x2+y2,;一、知识点训练：1、若，且与模相等，则四边形ABCD是_A 平行四边形 B 梯形
13、 C 等腰梯形 D 菱形2、设坐标原点为O，抛物线与过焦点的直线交于A、B两点，则等于_A B C 3 D 33、1的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，如图：已知两根细绳与水平分别成30，60角，则两根细绳受到的拉力为_4、某人以时速向东行走，此时正刮着时速的南风，那么此人感到的风向为_风速为_二、典型例题分析：1、空中有一气球，在它的正西方A点，测得它的仰角为45，同时在它的南偏东45的B点，测得它的仰角为，A、B两点间的距离为266米，这两点均离地1米，问当测量时，此气球离地多少米？2、如图，用两根绳子把重10的物体W吊在水平杆子AB上，ACW=150，BCW=120，求A和B处所受力的
14、大小(忽略绳子重量)3、一条河的两岸平行，河的宽度为，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为，水流速度。(1)试求与的夹角(精确到1)，及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1)；(2)要使船到达对岸所用的时间最少，与的夹角应为多少？4、4、三、课堂练习：1、已知：A(2,3)，B(1,4)且，则=_2、已知，且与为不共线的非零向量，则的面积可表示为_3、已知的BC边长的中点M，则=_4、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时有相应关系式为：(2)四点等分单位圆时有相应关系式为：，由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_5、已知,且 (1)求
15、与的关系；(2)证明.6、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？平面向量单元测试题一、选择题：1、 在四边形ABCD中，设，则=_A B C D 2、 与平行的单位向量为_A B C 或 D 3、 已知中，则=_A B C D 4、 非零向量是的_A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5、 已知两
16、点，则点分有向线段所成的比和值分别为_A 和 B 和8 C 和4 D 和6、设分别是平面直角坐标系内轴和轴正方向上的两个单位向量，已知，则四边形ABCD的面积是_A 20 B 30 C D 457、设A(1,2)，B(3,1)，C(3,4)，则=_A 11 B 5 C 2 D 18、将函数按平移使其化简为反比例函数表达式，则=_A B C D 9、在中，角A、B、C的对边为，若，则角C等于_A 30 B 45 C 60 D 12010、已知，且恰有，则A、B、C三点_A 构成直角三角形 B 构成等腰三角形 C 共线 D 无法确定11、在中，已知，若利用正弦定理解有两解，则的取值范围是_ A B
17、 C D 12、已知中，若，则是_A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰或直角三角形二、填空题：13、已知：A(2,3)，B(1,4)且，则=_14、已知，且与为不共线的非零向量，则的面积可表示为_15、已知的BC边长的中点M，则=_16、运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时有相应关系式为：(2)四点等分单位圆时有相应关系式为：，由此可以推知三等分单位圆时的相应关系式为_三、解答题：17、已知是两个不共线非零向量，若(1) 求证：A、B、D三点共线；(2)确定实数的值，使与共线。18、设A、B为单位圆上两点，O为坐标原点，(A、O、B
18、不共线)(1)求证：与垂直；(2)当且时，求的正弦值。19、海中有岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，在B处望见A岛在北偏东75，行海里至C后见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续航行，问有无触礁危险？20、已知,且 (1)求与的关系；(2)证明.21、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？22、设平面向量，若存在不同时为0的两个实数，及实数，使且，(1)求函数关系式；(2)若在是单调函数，求证：。
