1、第二章综合微评(命题人:冯迪)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式中正确的是()A.B.0C00 D.答案：D2设a0，b0分别是与a，b共线的单位向量，则下列结论中正确的是()Aa0b0 Ba0b01C|a0|b0|2 D|a0b0|2答案：C3若三点A(2,3)，B(3，a)，C(4，b)共线，则有()Aa3，b5 Bab10C2ab3 Da2b0答案：C4已知向量a，b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为()A.B. C.D.答案：C5已知C为ABC的一个内角，向量m(2cos C1，2)，n(co
2、s C，cos C1)若mn，则C()A. B. C. D.答案：C解析：mn，2cos2C3cos C20，(2cos C1)(cos C2)0，cos C.又C为ABC的一个内角，C.6在直角坐标系xOy中，(2,1)，(3，k)，若ABC是直角三角形，则k的可能值的个数是()A1 B2 C3 D4答案：B解析：若A90，则6k0，k6；若B90，则()0，2k10，k1；若C90，则()0，k2k30无解综上，k可能取6，1两个数7A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等边三角形答案：B解析：(2)()()
3、()()()220，|，ABC为等腰三角形8已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D答案：A9若a(x,2)，b(3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是()A. B.C. D.答案：C解析：x应满足(x,2)(3,5)且x，x.10在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足AP2PM，则()()A B C. D.答案：A解析：由题意可知，P是ABC的重心，0，()22.11已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2答案：A解析：由20可知，O是底边BC上的中线A
4、D的中点，故.12已知a，b是两个互相垂直的单位向量，而|c|13，ca3，cb4，则对于任意的实数，|cab|的最小值是()A5 B7 C12 D13答案：C解析：由条件可得，|cab|2c26822144(3)2(4)2144，当且仅当3，4时，|cab|2144，|cab|12.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13已知点A(1,3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_答案：解析：(3，4)，|5，与向量同方向的单位向量是.14已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_.答案：2解析：cta(1t)b，bc0，
5、cbtab(1t)b20，tcos 601t0.t2.15在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案：2解析：ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，又O为AC的中点，2，2.又，2.16在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点如果AB的长为2，则()_.答案：4解析：|2|2|28，|，2，()2|24.三、解答题(本大题共6小题，满分70分解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a(1,0)，b(2,1)(1)求|a3b|的值；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解：(1)a3b(1,0)3(2,1
6、)(7,3)，|a3b|.(2)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a3b(7,3)当(kab)(a3b)时，7(1)(k2)3，解得k，当k时，kab与a3b反向18(本小题满分12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a(1,2)(1)若|c|2，且ca，求c的坐标；(2)若|b|，且a2b与2ab垂直，求a与b的夹角.解：(1)设c(x，y)，|c|2，2，x2y220.由ca和|c|2，可得解得或故c(2,4)或c(2，4)(2)(a2b)(2ab)，(a2b)(2ab)0，即2a23ab2b20，253ab20，整理得ab，cos 1.又，.19(本小题满分12分)已知
7、向量a(，1)，b.(1)求证：ab；(2)是否存在不等于0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy？如果存在，试确定k和t的关系；如果不存在，请说明理由(1)证明：ab(，1)0，ab.(2)解：假设存在非零实数k，t使xy，则0，整理得ka2abt(t23)b20.又ab0，a24，b21.4kt(t23)0，即k(t33t)(t0且t)，故存在非零实数k，t，使xy成立，其关系为k(t33t)(t0且t)20(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，ckab，dab.(1)若cd，求k的值，并判断c，d是否同向；(2)若|a|b|，a与b的夹角为60，当k为何值时，cd?解：
8、(1)cd，可设cd，即kab(ab)又a，b不共线，得即cd，故c与d反向(2)cd(kab)(ab)ka2kababb2(k1)a2(1k)|a|2cos 60，又cd，故(k1)a2a20.即(k1)0，解得k1.21(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设2，3.(1)用向量，作为基底表示向量；(2)求的值解：(1)由3，得，.(2)()|cos 150|cos 3011.22(本小题满分12分)已知向量，满足条件0，|1.求证：P1P2P3是等边三角形证明：0，()2()2，|2|22|2，cos P1OP2，P1OP2120.|.同理可得|.故P1P2P3是等边三角形
