1、课时作业(五十)1(2011浙江文)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案B解析若在平面内存在与直线l平行的直线，因l，故l，这与题意矛盾，故选B.2(2010江西)如图，M是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行其中真命题是()ABC D答案C解析 将过点M的平面CDD1C1绕直
2、线DD1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB，B1C1都相交，故错误，排除ABD，选C.3空间中A、B、C、D、E五点不共面，已知A、B、C、D在同一平面内，点B、C、D、E在同一平面内，那么B、C、D三点()A一定构成三角形 B一定共线C不一定共线 D与A、E共面答案B解析设面ABCD为，面BCDE为且A、B、C、D、E不共面，则则、必相交于直线l.且Bl，Cl，Dl.故B、C、D三点一定共线且位于面ABCD与面BCDE的交线上4如图，正三棱柱ABCABC的底面边长和侧棱长均为2，D、E分别为AA与BC的中点，则AE与BD所成角的余弦值为()A0B.C.D.答案B解析取BB中点F，连接A
3、F，则有AF綊BD.FAE或其补角即为所求三棱柱ABCABC棱长均为2，AF，FE，AE.cosFAE.故AE与BD所成角余弦值为.5设有如下三个命题：甲：相交直线l，m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l，m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时()A乙是丙的充分而不必要条件B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件答案C解析当甲成立，即“相交直线l，m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l，m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l，m中至少有一条与平面相交”也成立，故选C.6设A，
4、B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC答案D解析ABCD可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立7. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()ABC D答案C解析如图，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题不成立；而CN与BE平行，故命题不成立；又四个选项中仅有选项C不含，运用
5、排除法，故应选C.8已知直线m、n及平面，其中mn，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集其中正确的是()A(1)(2)(3) B(1)(4)C(1)(2)(4) D(2)(4)答案C解析如图1，当直线m或直线n在平面内时不可能有符合题意的点；如图2，直线m，n到已知平面的距离相等且两直线所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图3，直线m，n所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.9在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有
6、正确答案的序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面10在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于E，交CC于F，则四边形BFDE一定是平行四边形；四边形BFDE可能是正方形；四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形；平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为_(写出所有正确结论的序号)答案解析如图，由面面平行的性质可知BEFD，EDBF，四边形BFDE是平行四边形，正确；它不可能是
7、正方形，否则BE平面AADD，错误；又四边形BFDE在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，它一定是正方形，正确；当E、F分别为所在棱的中点时，EF平面BBD，此时面BFDE垂直于面BBD.正确11. 如图，正四面体SABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是_答案解析取AC中点E，连接DE，BE，则BD与DE所成的角即为BD与SA所成的角设SAa，则BDBEa，DE.由余弦定理知cosBDE.12如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点求异面直线A1E与GF所成角的大小答案90解析连接B1G，EG，B1F，CF.E
8、、G是棱DD1、CC1的中点，A1B1EG.四边形A1B1GE是平行四边形，B1GA1E.所以B1GF(或其补角)就是异面直线A1E与GF所成的角在RtB1C1G中，B1C1AD1，C1GAA11，B1G.在RtFBC中，BCBF1，FC.在RtFCG中，CF，CG1，FG.在RtB1BF中，BF1，B1B2，B1F.在B1FG中，B1G2FG2B1F2，B1GF90.因此，异面直线A1E与GF所成的角为90.13. 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点证明(1)如图，连接CD1、EF、
9、A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EFA1B.又A1D1綊BC，四边形A1BCD1是平行四边形A1BCD1，EFCD1.EF与CD1确定一个平面.E、F、C、D1，即E、C、D1、F四点共面(2)由(1)知EFCD1，且EFCD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1.P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE、D1F、DA三线共点14如图所示，设A是BCD所在平面外一点，ADBC2 cm，E、F分别是AB、CD的中点(1)若EF cm，求异面直线AD和BC所成的角；
10、(2)若EF cm，求异面直线AD和BC所成的角答案(1)90(1)60解析取AC的中点G，连接EG、FG.E，F分别是AB，CD的中点，EGBC且EGBC1 cm，FGAD且FGAD1 cm.EGF即为所求异面直线的角或其补角(1)当EF cm时，由EF2EG2FG2，得EGF90.异面直线AD和BC所成的角为90.(2)当EF cm时，在EFG中，取EF的中点H，连接GH，EGGF1 cm，GHEF，EHFH cm.GH cm.GFHGEH30.FGE120，其补角为60.异面直线AD和BC所成的角为60.15已知正三棱柱ABCA1B1C1所有的棱长都为2，E是A1B的中点，F在棱CC1上(1)当C1FCF时，求多面体ABCFA1的体积；(2)当点F使得A1FBF为最小时，求异面直线AE与A1F所成的角解析(1)当C1FCF，即F为C1C的一个三等分点多面体ABCFA1可分解为三棱锥A1ABC和A1BCF两部分，VVA1ABCVA1BCF.(2)将平面BCC1B1沿CC1展开可知，F为中点时，A1FBF最小，取BF的中点D，连接DE，则AED即为所求角在AED中AE，EDA1F，AD.AD2AE2ED2，AED90.异面直线AE与A1F所成的角为90.(此题也可用向量法解，学生自己试做)