1、大二轮文2高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文专题二 函数与导数 第二编 专题整合突破3高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文 第三讲 导数的简单应用4高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文主干知识整合5高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文必记公式1基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)C(C 为常数)f(x)f(x)x(R)f(x)f(x)sinxf(x)f(x)cosxf(x)f(x)ax(a0，且 a1)f(x)0 x1cosxsinxaxln a6高考随堂演练适考素能特训
2、热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文原函数导函数f(x)exf(x)f(x)logax(a0，且 a1)f(x)f(x)ln xf(x)ex1xlogae1xln a1x7高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文2.导数四则运算法则(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)fxgx(g(x)0)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxgx28高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文重要概念1切线的斜率函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率，因此曲线 f(x
3、)在点 P 处的切线的斜率 k，相应的切线方程为2函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果，那么函数 yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减)f(x0)yf(x0)f(x0)(xx0)f(x)0(f(x)0)9高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文3函数的极值设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近所有的点 x，都有，那么 f(x0)是函数的一个极大值，记作 y 极大值f(x0)；如果对 x0 附近的所有的点都有，那么 f(x0)是函数的一个极小值，记作 y 极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值4函数的最值将函数 yf(x)在a，b内的与，其中
4、最大的一个是最大值，最小的一个是最小值f(x)f(x0)各极值端点处的函数值 f(a)，f(b)比较10高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文失分警示1判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立2混淆在点 P 处的切线和过点 P 的切线：前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先设出切点坐标3关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先求定义域11高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文热点考向探究12高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮
5、数学 文考点 导数的几何意义 典例示法典例 1 (1)2016山东高考若函数 yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 yf(x)具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是()AysinxByln xCyexDyx313高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设函数 yf(x)图象上两点的横坐标为 x1，x2.由题意知只需函数 yf(x)满足 f(x1)f(x2)1(x1x2)即可yf(x)sinx 的导函数为 f(x)cosx，f(0)f()1，故 A 满足；yf(x)ln x 的导函数为 f(x)1x，f(x1)f(x2)1x1
6、x20，故 B 不满足；yf(x)ex 的导函数为 f(x)ex，f(x1)f(x2)ex1x20，故 C 不满足；yf(x)x3 的导函数为 f(x)3x2，f(x1)f(x2)9x21x220，故 D 不满足故选 A.14高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)2015陕西高考设曲线 yex 在点(0,1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_(1,1)解析 yex，则 yex 在点(0,1)处的切线的斜率 k 切1，又曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线与 yex 在点(0,1)处的切线垂直，所以 y1x(x0)在点 P
7、处的切线的斜率为1，设 P(a，b)，则曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线的斜率为 y|xaa21，可得 a1，又 P(a，b)在 y1x上，所以 b1，故 P(1,1)15高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文1求曲线 yf(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 yf(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f(x0)，由点斜式写出方程(2)已知切线的斜率为 k，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 kf(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程16高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学
8、文(3)已知切线上一点(非切点)，求 yf(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程2利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解17高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文提醒：求曲线的切线方程时，务必分清在点 P 处的切线还是过点 P 的切线，前者点 P 为切点，后者点 P 不一定为切点，求解时应先求出切点坐标18高考随堂演练适考素能特训热
9、点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文针对训练12016重庆巴蜀中学模拟已知曲线 y 2xx1在点P(2,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 2 5，则直线 l 的方程为()A2xy20B2xy20 或 2xy180C2xy180D2xy20 或 2xy18019高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解 析 y 2x12xx12 2x12，y|x 2 22122，因此 k12，设直线 l 方程为 y2xb，即 2xyb0，由题意得|224b|52 5，解得 b18或 b2，所以直线 l 的方程为 2xy180 或 2xy20.故选 B.20高考随堂演练适考素能特训热
10、点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文22014江苏高考在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线yax2bx(a，b 为常数)过点 P(2，5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x2y30 平行，则 ab 的值是_3解析 yax2bx，y2axbx2，由题意可得4ab25，4ab472，解得a1，b2.ab3.21高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 利用导数研究函数的单调性 典例示法题型 1 利用导数研究函数的单调性(单调区间)典例 2 2015重庆高考已知函数 f(x)ax3x2(aR)在 x43处取得极值(1)确定 a 的值；(2)若 g(x)f(x)ex
11、，讨论 g(x)的单调性 22高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)对 f(x)求导得 f(x)3ax22x，因为 f(x)在 x43处取得极值，所以 f43 0，即 3a169 243 16a3 830，解得 a12.(2)由(1)得 g(x)12x3x2 ex，故 g(x)32x22x ex12x3x2 ex12x352x22x ex12x(x1)(x4)ex.23高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文令 g(x)0，解得 x0，x1 或 x4.当 x4 时，g(x)0，故 g(x)为减函数；当4x0，故 g(x)为增函数；当1x
12、0 时，g(x)0 时，g(x)0，故 g(x)为增函数综上知 g(x)在(，4)和(1,0)内为减函数，在(4，1)和(0，)内为增函数24高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 根据函数的单调性求参数的范围典例 3 2016西安质检已知函数 f(x)mx2xlnx.(1)若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为减函数，求实数 m 的取值范围；(2)当 0m12时，若曲线 C：yf(x)在点 x1 处的切线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求 m 的值或取值范围25高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学
13、文解(1)f(x)2mx11x2mx2x1x，即 2mx2x10 时，由于函数 y2mx2x1 的图象的对称轴x 14m0，故需且只需 0，即 18m0，故 0m18.综上所述，m18，故实数 m 的取值范围为，18.26高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为 ym12m(x1)，即 y2mxm1.从而方程 mx2xln x2mxm1 在(0，)上有且只有一解设 g(x)mx2xln x(2mxm1)，则 g(x)在(0，)上有且只有一个零点又 g(1)0，故函数 g(x)有零点 x1.则 g(x)2mx11x2m2mx2
14、2m1x1x2mx1x1x.27高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文当 m12时，g(x)0，又 g(x)不是常数函数，故 g(x)在(0，)上单调递增函数 g(x)有且只有一个零点 x1，满足题意当 0m1，由 g(x)0，得 0 x 12m；由 g(x)0，得 1x 12m.故当 x 在(0，)上变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：28高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文x(0,1)11，12m12m12m，g(x)00g(x)极大值 极小值 根据上表知 g12m 0，故在12m，上，函数 g(x)又有一个零点，不符合题意综上
15、所述，m12.30高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文1导数与单调性之间的关系(1)导数大(小)于 0 的区间是函数的单调递增(减)区间(2)函数 f(x)在 D 上单调递增xD，f(x)0 且f(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零；函数 f(x)在 D 上单调递减xD，f(x)0 且 f(x)在区间 D 的任何子区间内都不恒为零31高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路(1)求 f(x)(2)将单调性转化为导数 f(x)在该区间上满足的不等式恒成立问题求解32高考随堂演练适考素能特训热点考向探
16、究主干知识整合大二轮 数学 文考点 利用导数研究函数的极值与最值 典例示法题型 1 求函数的极值(最值)典例 5 2016合肥质检已知函数 f(x)e1x(2axa2)(其中 a0)(1)若函数 f(x)在(2，)上单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)设函数 f(x)的最大值为 g(a)，当 a0 时，求 g(a)的最大值33高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由 f(x)e1x(2axa2)，得 f(x)e1x(2axa2)2ae1xe1x(2axa22a)0，又 a0，故 x1a2，当 a0 时，f(x)在，1a2 上 为 增 函 数，在1a2，上为
17、减函数，1a22，即 a2，0a2；当 a0 时，f(x)maxf1a2 2ae a2即 g(a)2ae a2.则 g(a)(2a)e a2 0，得 a2，g(a)在(0,2)上为增函数，在(2，)上为减函数，g(a)maxg(2)4e.35高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 知极值的个数求参数范围典例 6 2016沈阳质检已知函数 f(x)xln xa2x2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点(1)求 a 的取值范围；(2)记两个极值点为 x1，x2，且 x10，若不等式 e1x1x2恒成立，求 的取值范围解(1)依题，函数 f(x)的定义域为(0
18、，)，所以方程 f(x)0 在(0，)上有两个不同的根，即方程 ln xax0 在(0，)上有两个不同的根36高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解法一：可以转化为函数 yln x 与函数 yax 的图象在(0，)上有两个不同的交点，如图可见，若令过原点且与函数 yln x 图象相切的直线斜率为 k，只需 0ak.37高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文令切点 A(x0，ln x0)，所以 ky|xx01x0，又 kln x0 x0，所以1x0ln x0 x0，解得 x0e，于是 k1e，所以 0a1e.解法二：可以转化为函数 g(x)l
19、n xx 与函数 ya 的图象在(0，)上有两个不同的交点又 g(x)1ln xx2，当 0 x0，38高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文当 xe 时，g(x)0，所以 g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减从而 g(x)极大值g(e)1e.又 g(x)有且只有一个零点是 1，且在 x0 时，g(x)，在 x时，g(x)0，39高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文所以 g(x)的草图如图所示，可见，要想函数 g(x)ln xx 与函数 ya 的图象在(0，)上有两个不同交点，只需 0a0)，若 a0，可见 g(x)0 在(
20、0，)上恒成立，所以 g(x)在(0，)上单调递增，此时 g(x)不可能有两个不同零点若 a0，当 0 x0，当 x1a时，g(x)0，即 ln1a10，所以 0a1e.综上所述，0a1e.42高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)e1x1x2等价于 1ln x1ln x2.由(1)可知 x1，x2 分别是方程 ln xax0 的两个根，即 ln x1ax1，ln x2ax2，所以原式等价于 10,0 x1 1x1x2.43高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文又由 ln x1ax1，ln x2ax2 作差得，ln x1x2a(x1x2
21、)，即 aln x1x2x1x2.所以原式等价于ln x1x2x1x2 1x1x2，44高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文因 为 0 x1x2 且 原 不 等 式 恒 成 立，所 以 ln x1x21x1x2x1x2恒成立令 tx1x2，t(0,1)，则不等式 ln t0，所以 h(t)在(0,1)上单调递增，又 h(1)0，h(t)0 在(0,1)上恒成立，符合题意当 20，t(2,1)时，h(t)0，所以 h(t)在(0，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，又h(1)0，所以 h(t)在(0,1)上不能恒小于 0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式 e10
22、，所以 1.46高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文利用导数研究函数极值与最值的步骤(1)利用导数求函数极值的一般思路和步骤求定义域；求导数 f(x)；解方程 f(x)0，研究极值情况；确定 f(x0)0 时 x0 左右的符号，定极值47高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)若已知函数极值的大小或存在情况，求参数的取值范围，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来讨论求解3求函数 yfx在a，b上最大值与最小值的步骤求函数 yfx在a，b内的极值；将函数 yfx的各极值与端点处的函数值 fa，fb比较，其中最大的一个是最大值
23、，最小的一个是最小值.48高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文提醒：1求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；2求函数最值时，务必将极值点与端点值比较得出最大小值；3对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论.49高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文高考随堂演练50高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文全国卷高考真题调研12015全国卷设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0成立的 x 的取值范围是()A(，1)
24、(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)51高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 令 F(x)fxx，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数，由于 F(x)xfxfxx2，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.52高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文22016全国卷已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)e x 1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_y2x解析 当 x0 时，x0)，点(1,2)在曲线 yf(x)上，易知 f
25、(1)2，故曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是 y2f(1)(x1)，即 y2x.53高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文其它省市高考题借鉴32016四川高考已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a()A4 B2C4 D254高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 由题意可得 f(x)3x2123(x2)(x2)，令 f(x)0，得 x2 或 x2，则 f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值 极小值 函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则 a2.
26、故选 D.55高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文42016北京高考设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解(1)因为 f(x)xeaxbx，所以 f(x)(1x)eaxb.依题设，f22e2，f2e1，即2ea22b2e2，ea2be1，解得 a2，be.56高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)由(1)知 f(x)xe2xex.由 f(x)e2x(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.所以当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增57高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)58高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文适考素能特训
