1、空间向量与立体几何中的常见题型一一、 常规题型1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点(1)证明：EF平面PCD(2)若PD平面ABCD，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：平面MQB平面PAD；(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值3、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的
2、中点(1)证明：AE平面BDC1；(2)若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为，求DE与平面BDC1所成角的正弦值4. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.（1）求证:;（2）求与平面所成角的余弦值.5、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：ABPM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAPB，PAPB，PC2.(1)证明：平面PAB平面ABCD；(2)若H为PA的中点，求二面角DCHB的余弦值
3、7、如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，H是AD的中点，四边形ABCH为正方形，ABAA1A1D1.(1)证明：平面B1CH平面ADD1A1；(2)求平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值8、如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点(1)求证：平面B1D1E平面C1MN；(2)若平面AFM平面A1B1C1D1l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值9、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB3.再从条件、条件、条件中选择两个能解
4、决下面问题的条件作为已知，并作答(1)求证：AB平面AA1C1C；(2)求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值条件：BC5；条件：ABAA1；条件：平面ABC平面AA1C1C二、 翻折问题翻折问题中的处理关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化1、如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且(1)证明：平面平面EBCD；(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.2、 如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.（1）求
5、证：；（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.3、如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF平面D1AE；(2)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值4、已知在矩形ABCD中，AB2，AD3，在AD上取一点E满足2AEED.现将CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PAPB.(1)求证：平面PCE平面ABCE；(2)求二面角B-AP-E的平面角的余弦值5、在RtABC中，ABC，AB2，BC4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将C
6、EF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且BEC1，连接C1B，C1A.(1)求证：平面AFC1平面ABC1；(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小6、图1是直角梯形ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD，2.以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1，如图2.(1)证明：平面BC1E平面ABED；(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值7、如图，四边形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBC，AD2，E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点(1)证明：平面GAC平面PEF；(2)若
7、平面PEF平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值三、 求最值问题和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值1、在三棱锥P-ABC中，平面PBC平面ABC，ACB90，BCPC2，若ACPB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为()A B C D2.如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为，则cos 的最大值3.如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD.若AD2，求四棱锥E-A
8、BCD的体积的最大值；4、如图，在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且ACa，BDb.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？5、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？空间向量与立体几何中的常见题型一（答案）二、 常规题型1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点(1)证
9、明：EF平面PCD(2)若PD平面ABCD，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值解：(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，又底面ABCD为菱形，所以，所以，所以四边形EGCF为平行四边形，所以又平面PCD平面PCD，所以EF/平面PCD(2)解：连接，因为PD平面ABCD，平面ABCD，所以，因为四边形ABCD为菱形，所以为等边三角形，因为F为BC的中点，所以，因为，所以，所以两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），则设平面DEF的法向量，则
10、，令，得设直线AF与平面DEF所成的角为，则，所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为2、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPD2，BCAD1，CD.(1)求证：平面MQB平面PAD；(2)若二面角M-BQ-C的平面角为30，求直线QM与平面PAD所成角的正弦值解：(1)证明：因为ADBC，BCAD，Q为AD的中点，则QDBC且QDBC，所以四边形BCDQ为平行四边形，所以CDBQ，因为ADC90，所以AQB90，即BQAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BQ平面
11、ABCD，所以BQ平面PAD，因为BQ平面MQB，所以平面MQB平面PAD.(2)因为PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQ平面PAD，所以PQ平面ABCD，又因为BQAD，所以以Q为原点，以QA，QB，QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Q-xyz，则Q，A，P，B，C，设，其中01，所以(，)，又，设平面MBQ的法向量为m，则所以，取x(1)，得m，由题意知平面BQC的一个法向量为n，因为二面角M-BQ-C的平面角为30，所以cos 30，因为01，解得，所以，易知平面PAD的一个法向量为u，sin |
12、cos ，u|.所以QM与平面PAD所成角的正弦值为.3、如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC是边长为6的等边三角形，D，E分别为AA1，BC的中点(1)证明：AE平面BDC1；(2)若异面直线BC1与AC所成角的余弦值为，求DE与平面BDC1所成角的正弦值解：(1)证明：取BC1的中点F，连接DF，EF，如图所示因为E为BC的中点，所以EFCC1，EFCC1，又D为AA1的中点，所以DACC1，DACC1，所以EFDA且EFDA，故四边形ADFE为平行四边形，所以AEDF，因为AE平面BDC1，DF平面BDC1，所以AE平面BDC1.(2)以A为坐标原点，分别以，1的方向为x轴
13、，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设AA12t(t0)，则B(6，0，0)，C1(3，3，2t)，A(0，0，0)，C(3，3，0)，D(0，0，t)，E，所以(6，0，t)，1(3，3，2t)，(3，3，0)，所以|cos1，|，解得t.设平面BDC1的法向量m(x，y，z)，由得取x1，则m(1，2)为平面BDC1的一个法向量又D(0，0，)，所以，所以cos，m，即DE与平面BDC1所成角的正弦值为.4. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，.（1）求证:;（2）求与平面所成角的余弦值.解：（1）因为底面为正方形，且平面，则可得两两垂直.以所在直线分别为轴建立空间直
14、角坐标系，设，则，因为，所以所以.故，所以.（2）由（1）可知:设平面的法向量为，则，即取，则.所以.且设与平面所成角为，则.所以.即与平面所成角的余弦值.5、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA，M，N分别为BC，PC的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：ABPM；(2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值解：(1)证明：因为底面ABCD是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且M为BC的中点，所以CM2，CD1，DCM60，易得CDDM.又PDDC，且PDDMD，PD，DM平面PDM，所以CD平面PDM.因为ABCD，所以AB平面P
15、DM.又PM平面PDM，所以ABPM.(2)因为PMMD，PMDC，所以PM平面ABCD.连接AM，则PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以AM，又PA，所以PM2.由(1)知CDDM，过点M作MECD交AD于点E，则MEMD.故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，2，0)，P(0，0，2)，C(，1，0)，所以N，所以.易知平面PDM的一个法向量为n(0，1，0)设直线AN与平面PDM所成的角为，则sin |cos，n|.6、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ABC60，PAPB，PAPB，P
16、C2.(1)证明：平面PAB平面ABCD；(2)若H为PA的中点，求二面角DCHB的余弦值解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO，PO，AC因为四边形ABCD为菱形，所以ABBCADCD.由ABC60，知ABC为等边三角形因为O为AB的中点，所以COAB，由勾股定理得CO.因为PAPB，PAPB，所以POAB，且POAB1.由PO2CO2PC2得COOP，又POAB，OCABO，所以PO平面ABCD，因为PO平面PAB，所以平面ABCD平面PAB.(2)以O为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(，2，
17、0)，P(0，0，1)，H.从而，(0，2，0)，(，1，0)设平面DCH的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1，n1，得取n1(1，0，2)设平面BCH的法向量为n2(x2，y2，z2)，由n2，n2，得取n2(1，3)设所求二面角为，则|cos |cosn1，n2|.因为是钝角，所以所求二面角的余弦值为7、如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，H是AD的中点，四边形ABCH为正方形，ABAA1A1D1.(1)证明：平面B1CH平面ADD1A1；(2)求平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：因为四边形ABCH为正方形，所以CHAD，因为
18、AA1平面ABCD，CH平面ABCD，所以CHAA1，因为AA1ADA，AD，AA1平面ADD1A1，所以CH平面ADD1A1，因为CH平面B1CH，所以平面B1CH平面ADD1A1.(2)由题意，可知AB，AD，AA1两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，设AB1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，H(0，1，0)，B1，D(0，2，0)，D1(0，1，1)所以(1，0，0)，1，设平面B1CH的法向量为n1(x，y，z)，则即可得平面B1CH的一个法向量为n1(0，1，1)，同理可得平面CDD1C1的一个法向量为n2(1，1，1)，设平面B1CH与平面CDD1
19、C1所成锐二面角为，则cos ，所以平面B1CH与平面CDD1C1所成锐二面角的余弦值为.8、如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA14，点E，F，M，N分别为棱CC1，BC，BB1，AA1的中点(1)求证：平面B1D1E平面C1MN；(2)若平面AFM平面A1B1C1D1l，求直线l与平面B1D1E所成角的正弦值解：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形BCC1B1是矩形如图，连接ME.E，M分别为棱CC1，BB1的中点，且BB14，B1C12，四边形MEC1B1是正方形C1MB1E.N，M分别为棱AA1，BB1的中点，NM平面BCC1B1.又B1
20、E平面BCC1B1，NMB1E.NMC1MM，NM，C1M平面C1MN，B1E平面C1MN.B1E平面B1D1E，平面B1D1E平面C1MN.(2)易知AF平面A1B1C1D1，AF平面AFM.平面AFM平面A1B1C1D1l，AFl.直线l与平面B1D1E所成的角，即直线AF与平面B1D1E所成的角以D为坐标原点，1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，F(1，2，0)，D1(0，0，4)，B1(2，2，4)，E(0，2，2)，(2，2，0)，(0，2，2)，(1，2，0)设平面B1D1E的法向量为m(x，y，z)，由得即令z
21、1，则y1，x1，m(1，1，1)，为平面B1D1E的一个法向量设直线l与平面B1D1E所成的角为，则sin |cos，m|.直线l与平面B1D1E所成角的正弦值为.9、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB3.再从条件、条件、条件中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答(1)求证：AB平面AA1C1C；(2)求直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值条件：BC5；条件：ABAA1；条件：平面ABC平面AA1C1C解：(1)选择：证明：因为AC4，AB3，BC5，所以ABAC又因为ABAA1，ACAA1A，所以AB平面AA1C1C选择：证明：因为AC
22、4，AB3，BC5，所以ABAC又因为平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1CAC，所以AB平面AA1C1C(2)由(1)知ABAC，ABAA1.因为四边形AA1C1C是正方形，所以ACAA1.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，0，4)，A1(0，4，0)，C1(0，4，4)，(3，4，0)，(0，0，4)，(3，0，4)设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y3，则x4，z0，所以n(4，3，0)设直线BC与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|.所以直线BC与平面A1BC1所成角的正弦值为.三、
23、 翻折问题翻折问题中的处理关键是结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化1、如图（一）四边形ABCD是等腰梯形，过D点作，垂足为E点，将沿DE折到位置如图（二），且(1)证明：平面平面EBCD；(2)已知点P在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值.解：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，在中，知，又EC，面EBCD，面EBCD面，面面EBCD(2)由（1）知面EBCD，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，设是面CEP的法向量，令，设是面DEP的法向量，令，设平面与平面夹角为，则平面与平面夹角的余弦
24、值为3、 如图，在平面四边形中， .现将沿翻折到的位置，且二面角的平面角大小为.（1）求证：；（2）若，且与平面所成角的大小为，求的长.解：（1）连接交于点，则，平面，平面，；（2）由（1）知，如图建系，设，则.所以.设平面的法向量为，所以. 令，则，又与平面所成角的大小为，所以，整理得：，解得.3、如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1-ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)设F为CD1的中点，试在AB上找一点M，使得MF平面D1AE；(2)求直线BD1与平面CD1E所成角的正弦值解：(1)取D1E的中点N，连接AN，
25、NF，则NFEC，NFEC.因为ECAB2，当AMAB1时，AMEC，AMEC.连接MF，则NFAM且NFAM，则四边形AMFN是平行四边形，所以ANMF.又MF平面D1AE，AN平面D1AE，则MF平面D1AE.(2)分别取AE，AB，BC的中点O，G，K，连接OD1，OM，OK，EG，因为AD1ED12，所以OD1AE，又平面D1AE平面ABCE且交于AE，所以OD1平面ABCE，又OM，OK平面ABCE，所以OD1OM，OD1OK.易知OKAB，OMEGBC，又ABBC，所以OMOK，如图建立空间直角坐标系O-xyz.则D1(0, 0，)，E(1，1，0)，B(1，3，0)，C(1，3，
26、0)，所以ED1，(0，2，0)，BD1，设平面CD1E的法向量为n(x, y, z)，由得取z1，则n(，0, 1).记直线BD1与平面CD1E所成的角为，则sin |cos BD1，n|.4、已知在矩形ABCD中，AB2，AD3，在AD上取一点E满足2AEED.现将CDE沿CE折起使点D移动至P点处，使得PAPB.(1)求证：平面PCE平面ABCE；(2)求二面角B-AP-E的平面角的余弦值解：(1)证明：依题意得PEPC2，分别取线段AB，CE的中点O，M，连接PO，OM，MP，则PMEC，由PAPB，得POAB.又OM为梯形ABCE的中位线，所以OMBC，由BCAB，得OMAB，又PO
27、OMO，从而AB平面POM，则ABPM.在平面ABCE中，AB与CE相交，所以PM平面ABCE，又PM平面PCE，故平面PCE平面ABCE.(2)过点O作PM的平行线为z轴，以OA，OM为x，y轴建立空间直角坐标系O-xyz，则A(1，0，0)，B(1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，2，)，所以(1，2，)，(2，0，0)，(0，1，0)，设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则即令y1，得n(0，1，)，同理，平面PAE的一个法向量m(，0，1)，所以cos m，n，由图可知二面角B-AP-E的平面角为钝角，所以二面角B-AP-E的平面角的余弦值为.5、在RtABC中，ABC，AB2
28、，BC4，已知E，F分别是BC，AC的中点，将CEF沿EF折起，使C到C1的位置如图所示，且BEC1，连接C1B，C1A.(1)求证：平面AFC1平面ABC1；(2)求平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小解：(1)证明：取AC1，BC1的中点分别为G，H，连接GH，GF，HE.如图所示，则GHABEF，GHEFAB，因为EFBE，EFC1E，BEC1EE，所以EF平面BEC1，EH平面BEC1，所以EFEH，所以GHEH，因为BEC1，E是BC的中点，所以EBC1为等边三角形，所以EHBC1，又因为GH平面ABC1，BC1平面ABC1，GHBC1H，所以EH平面ABC1.又因为G
29、HEF，GHEF，所以四边形EHGF为平行四边形，所以FGEH，所以FG平面ABC1.又因为FG平面AFC1，所以平面AFC1平面ABC1.(2)以B为坐标原点，在平面BC1E内与BE垂直的直线为x轴，BE，BA所在的直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，2)，F(0，2，1)，C1(，1，0)，易知平面BEC1的一个法向量为m(0，0，1)，设平面AFC1的法向量为n(x，y，z)，因为AC1(，1，2)，(0，2，1)，所以令y1，则z2，x，所以n(，1，2)，所以cos m，n，结合图形可知平面AFC1与平面BEC1所成二面角的平面角的大小为.6、图1是直角梯形
30、ABCD，ABDC，D90，AB2，DC3，AD，2.以BE为折痕将BCE折起，使点C到达C1的位置，且AC1，如图2.(1)证明：平面BC1E平面ABED；(2)求直线BC1与平面AC1D所成角的正弦值解：(1)证明：如图，连接AE，AC，AC交BE于点F.因为2，DC3，所以CE2，所以ABCE，又ABCD，所以四边形AECB是平行四边形在RtACD中，AC2，所以AFCF.在图中，AC1，所以AF2C1F2AC，所以C1FAF，由题意得C1FBE，又BEAFF，所以C1F平面ABED，又C1F平面BC1E，所以平面BC1E平面ABED.(2)如图，以D为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正
31、方向，FC1的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系D-xyz.则D(0，0，0)，A(，0，0)，B(，2，0)，E(0，1，0)，F，C1，所以BC1，(，0，0)，DC1，设平面AC1D的法向量为n(x，y，z)，由得取z，得n(0，2，)，所以|n|，记直线BC1与平面AC1D所成的角为，则sin |cos BC1，n|.7、如图，四边形ABCD中，ADBC，BAD90，ABBC，AD2，E，F分别是线段AD，CD的中点以EF为折痕把DEF折起，使点D到达点P的位置，G为线段PB的中点(1)证明：平面GAC平面PEF；(2)若平面PEF平面ABCFE，求直线AG与平面PAC所成角的正弦值解
32、：(1)证明：如图，连接BE，交AC于点M，连接GM，CE.由已知可得，四边形ABCE是正方形，M是线段BE的中点G为线段PB的中点，PEGM.GM平面GAC，PE平面GAC，PE平面GACE，F分别是线段AD，CD的中点，EFACAC平面GAC，EF平面GAC，EF平面GAC又PEEFE，PE，EF平面PEF，平面GAC平面PEF.(2)平面PEF平面ABCFE，平面PEF平面ABCFEEF，PFEF，PF平面ABCFE，FE，FC，FP两两垂直以点F为坐标原点，FE，FC，FP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，2，0)，A(2
33、，1，0)，G.，(0，1，1)，(2，0，0)设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，由得令y1，则n(0，1，1)设直线AG与平面PAC所成的角为，则sin |cos，n|.直线AG与平面PAC所成角的正弦值为.四、 求最值问题和空间向量有关的最值问题，可以通过建立空间直角坐标系，用坐标表示要求的最值，结合函数求解最值1、在三棱锥P-ABC中，平面PBC平面ABC，ACB90，BCPC2，若ACPB，则三棱锥P-ABC体积的最大值为(D)A B C D解：如图，取PB的中点M，连接CM.因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AC平面ABC，ACBC，所以AC平面PBC.则点A
34、到平面PBC的距离为AC，设AC2x.由于BCPC2，PB2x(0x2)，M为PB的中点，所以CMPB，CM.可得SPBC2xx，VP-ABCVA-PBC(x)2x.设t(0t2)，则x24t2.所以VA-PBC(0t2)，记V(t)(0t2)，则V(t).令V(t)0，解得t.由V(t)0得0t，所以V(t)在上单调递增；由V(t)0得t2，所以V(t)在上单调递减所以当t时，VA-PBC取得最大值.2.如图，三棱锥V-ABC中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成二面角的
35、平面角为，则cos 的最大值解：底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面VAC垂直底面ABC，且由VEAC，得VE底面ABC，又EBAC，以E为原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，EV所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示设AB2，则C，B，V，设F，(，0，)，设平面VBC的法向量为m，则，即，取x11.所以m.设平面VEF的法向量为n，则，即，解得z20，令y21，则x21，所以n，因为平面VEF与平面VBC所成二面角的平面角为，则cos ，当x时，cos 的最大值为.3.如图为一个半圆柱，E为半圆弧CD上一点，CD.若AD2，求四棱锥E-ABCD的体积
36、的最大值；解：在平面EDC内作EFCD于F易知平面ABCD平面EDC，平面ABCD平面EDCCD，所以EF平面ABCD，即EF为四棱锥E-ABCD的高因为E为半圆弧CD上一点，所以CEED.故VE-ABCDS矩形ABCDEF2CEED.因为CE2ED2CD25，所以VE-ABCD，当且仅当CEED时等号成立，故四棱锥E-ABCD的体积的最大值为.4、如图，在呈空间四边形的支撑架ABCD上安装一块矩形太阳能吸光板EFGH，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上，且ACa，BDb.求E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？解：要使吸光板的吸光量最大，则矩形EFGH的面积最大设
37、EHx，EFy.因为FGEH，EH平面ABD，FG平面ABD，所以FG平面ABD.又因为FG平面BCD，平面BCD平面ABDBD，所以FGBD.同理可证EFHGAC.则，.两式相加，得1.矩形EFGH的面积Sxy.由得Sx2ax(0xb)，故当x时，S有最大值，此时y.故当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点时，吸光板的吸光量最大5、已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，ABBC2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BFA1B1.(1)证明：BFDE；(2)当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？解：(1)证明：
38、因为E，F分别是AC和CC1的中点，且ABBC2，所以CF1，BF.如图，连接AF，由BFA1B1，ABA1B1，得BFAB，则AF3，所以AC2.由AB2BC2AC2，得BABC，故以B为坐标原点，以AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Bxyz.则B(0，0，0)，E(1，1，0)，F(0，2，1)，(0，2，1)设B1Dm(0m2)，则D(m，0，2)，于是(1m，1，2)所以0，所以BFDE.(2)易知面BB1C1C的一个法向量为n1(1，0，0)设面DFE的法向量为n2(x，y，z)则又(1m，1，2)，(1，1，1)，所以令x3，得ym1，z2m，于是，面DFE的一个法向量为n2(3，m1，2m)，所以cosn1，n2 .设面BB1C1C与面DFE所成的二面角为，则sin ，故当m时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小，为，即当B1D时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小
