1、高三理科班数学附加题速成教材2（一）基础知识 矩 阵1. 矩阵的定义：同一横（竖）排中按原来次序的两个数叫做矩阵的行（列），组成矩阵的每一个数都叫做矩阵的元素，其中，从左上角到右下角的这条对角线称为矩阵的主对角线。由4个元素a,b,c,d排成的正方形数表称为二阶矩阵。2. 二阶行矩与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=，与向量的乘积为=；数乘平面向量：设，是任意一个实数，则；.平面向量的加法：设，则数乘结合律：；分配律：； 二阶行矩乘法=；复合变换与二阶矩阵的乘法（左乘）：；如：已知ABC，A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90分
2、别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标解MM2 M1 C坐标是(1，2)说明连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序M2 M1 3.逆变换与逆矩阵：逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得，（是恒等变换）则称变换可逆，其中是的逆变换。逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，如果存在二阶矩阵，使E，则称二阶矩阵是可逆矩阵，称是二阶矩阵的逆矩阵（简称逆阵）记作A-1。提醒：证明逆矩阵必须全面，E。如：给定矩阵M=，N=及向量e1=，e2=（）证明M和N互为逆矩阵；（）证明e1和e2都是M特征向量4.特征值和特征向量：,存在和非零向量满足=，即=， ，则=0。
3、设称为特征多项式，则叫A的一个特征值，叫特征向量。用特征值和特征向量定义求二阶矩阵的方法：如：已知二阶矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A解 设A=，由题知=，=3所以A= 5.几种常见的平面变换(1) 恒等变换阵（即单位矩阵）：任何一个列向量在作用下均保持不变，称为恒等变换阵。(2) 伸压变换 定义：将每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，这样的几何变换为伸缩变换；向量在矩阵的作用下变换为向量，也就是矩阵把平面上的点变换为横坐标不变，纵坐标为原来的2倍的点；从几何直观上看即把一个几何图形保持x轴方向不变，而沿y轴方向拉长为原来的2倍的变换。(
4、3) 反射变换：把平面上任意一点P对应到它关于直线对称点P的线性变换叫做关于直线的反射；形如矩阵将图形变为关于Y轴、关于X轴轴反射以及关于原点对称中心对称图形变换矩阵，成为反射变换。（4）旋转变换：矩阵，逆时针旋转90度，顺时针旋转90度如：已知曲线：（1）将曲线绕坐标原点逆时针旋转后，求得到的曲线的方程；（2）求曲线的焦点坐标和渐近线方程. ；由（1）知，只须把曲线的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转后，即可得到曲线的焦点坐标和渐近线方程。曲线的焦点坐标是，渐近线方程，矩阵变换后，曲线的焦点坐标是。而把直线要原点顺时针旋转恰为轴与轴，因此曲线的渐近线方程为和。（5）投影变换：定义：将平面上每个
5、点P对应到它在直线上的投影P（即垂足），这个变换称为关于直线的投影变换，点投影到X轴上，横坐标不变，纵坐标为0. ，点投影到y=x上；（6）切变换定义：将每一点P（x,y）沿着与x轴平行的方向平移个单位，称为平行于x轴的切变变换。将每一点P（x,y）沿着与y轴平行的方向平移个单位，称为平行于y轴的切变变换；如：设矩阵对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵以及圆在的作用下的新曲线的方程 （二）基本计算1. 的计算:一般地，。意义表示旋转变换，逆时针连续逆时针旋转度；如：设A=，则A6= 。；归纳猜想：设矩阵A（a0）（1）求A2，A3；（
6、2）猜想An（nN*）；解 （1）A2，A3；（2）An（nN*）；如：M=，向量求： M3；如：已知M=，试计算答案矩阵M的特征多次式为，特征向量分别为和，而，所以；设数列满足 ，且满足，试求二阶矩阵解：，则 2.求逆矩阵常见的方法：E（1）用待定系数法求逆矩阵：设是一个二阶可逆矩阵，E；（2）公式法：，记为：detA，有，当且仅当detA=0；（3）从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵； （4）(AB)1B1A1 。3. 变换前后的曲线方程：坐标转移法；求变换前的曲线方程：坐标转移法；求变换矩阵：根据特殊点坐标变换待定系数法 如：设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求圆在此伸缩变换下的方程
7、，并指出变换后的方程表示什么曲线.解：由可得，代入圆的方程得，即，它表示中心在原点、焦点在轴上的椭圆. 如：已知向量, 将绕原点按逆时针方向旋转得到,则与同向的单位向量是_4利用逆矩阵解方程组的步骤： 可以表示成=，简写成,如：设A=，试解方程AX=B。答案：由已知，X=，即行列式解方程：，5.求特征向量和特征值的步骤： （1）=0；（2）解；（3）取或者；6.,如何求的步骤，是一个特征向量： ，,依此，。7.如何求的步骤： （1）求，即M的特征值和特征向量；（2）用特征向量线性表示向量，即是常数，但一般不是；（3）代入=,因为，=，依此，=；如：矩阵M= ，向量 = 求M3：M3= M3（3
8、1+2）=3 M31+ M32 =3131+232=343+（-2）3=；典型例题：1已知ABC，A(1，0)，B(3，0)，C(2，1)，对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标解 （1）M1，M2；（2）因为MM2 M1 ，所以M 故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是(1，2)说明 考查常见的平面变换及二阶矩阵与平面向量的乘法、矩阵的乘法，并且理解连续两次变换所对应二阶矩阵相乘的顺序2二阶矩阵M对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)（1
9、）求矩阵M；（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：xy4，求l的方程解 （1）设M=，则有=，=，所以且 解得，所以M=（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P(x，y)因为，所以又m：，所以直线l的方程(x+2y)(3x+4y)=4，即x+y+2=0说明：考查利用二阶矩阵与平面向量乘法的知识求二阶矩阵的方法；考查求一条曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法3设矩阵M的特征值为1=3，2=1，其对应的一个特征向量分别为，若，试求M20解 设，解得，所以M20= M20=4（M20）3（M20）=4（120）3（220）=说明：考查矩阵的特征值与特征向量的应用4已知二阶矩阵A的
10、属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值3的一个特征向量为，求矩阵A解 设A=，由题知=，=3即，解之得： 所以A=说明 考查特征值和特征向量的概念，掌握用待定系数法求二阶矩阵的方法5运用旋转变换矩阵求曲线xy3绕原点顺时针旋转45角后所得的曲线方程解 绕原点顺时针旋转45的变换矩阵为，即任取曲线上一点P(x，y)绕原点顺时针旋转45角后所得点P(x，y)则 ，所以 解得代入xy3得，x2y26故曲线的方程为x2y26说明 考查常见的旋转变换，掌握求一曲线经过二阶矩阵变换后的曲线方程的方法6（1）求矩阵A=的逆矩阵； （2）利用逆矩阵知识解方程组解（1）设逆矩阵为，则由，得 ，解得 ， 所以 (2)，即说明 考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握用逆矩阵的知识求解方程组的方法w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
