1、考点(一)角的概念 【基本知识通关】1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ4.确定(n2，nN*)终边位置的方法步骤讨论法(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)写出的范围；(3)根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置等分象限角法已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角(1)等分：将每个象限分成n等份；(2)标注：从x轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴；(3)选答：出现数字m的区域
2、，即为的终边所在的象限【知识应用通关】1若k360，m360(k，mZ)，则角与的终边的位置关系是()A重合 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【答案】C【解析】角与终边相同，与终边相同又角与的终边关于x轴对称角与的终边关于x轴对称2集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()【答案】C3若角是第二象限角，则是()A第一象限角B第二象限角C第一或第三象限角D第二或第四象限角【答案】C【解析】是第二象限角，2k2k，kZ，k1，则角的终边在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【答案】B2.已知角终边上一点P的坐标是(2sin 2，2cos 2)，则sin ()Asin 2Bsin
3、 2 Ccos 2Dcos 2【答案】D【解析】因为r2，由任意三角函数的定义，得sin cos 2.3.在平面直角坐标系中，点M(3，m)在角的终边上，点N(2m，4)在角的终边上，则m()A6或1B1或6C6D1【答案】A 【解析】由题意得，tan ，tan，m6或1，故选A.4.已知角的终边经过点P(x,3)(x0)且cos x，则x()A1B C3D【答案】A【解析】由题意，得x，故x2910，解得x1.因为x0，所以x1，故选A.第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式考点(一)同角三角函数的基本关系 【基本知识通关】1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21(R)(
4、2)商数关系：tan .2同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan 化成正弦、余弦，或者利用公式tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的变换1sin2cos2cos2(1tan2)(sin cos )22sin cos tan表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin cos )212sin cos 进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 【知识应用通关】1.若，sin ，则cos()()AB. C.D【答案】B【解析】因为，sin ，所以，cos ，则cos().2.已知tan 2，则sin2sin co
5、s 2cos2()AB. CD.【答案】D3. 已知sin cos ，0，则tan ()AB C.D.【答案】A4.已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()AB. CD.【答案】B【解析】，cos 0，sin 0且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 12，cos sin . 5.已知tan ，求：(1)的值；(2)的值；(3)sin22sin cos 的值【答案】【解析】(1).考点(二)三角函数的诱导公式 【基本知识通关】1.诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_si
6、n_sin_ 正切tan tan_tan_tan_2.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”3利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值4.应用诱导公式化简求值的常见问题及注意事项(1)已知角求值问题关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用(2)对给定的式子进行化简或求值问题要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化特别要注意每一个角所在的象限
7、，防止符号及三角函数名出错【知识应用通关】1已知sin，那么tan 的值为()AB CD【答案】C【解析】sin化为cos ，那么sin ，tan ，故选C.2已知atan，bcos ，csin，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDacb【答案】B3已知，且cos ，则()A.BC.D【答案】C【解析】，且cos ，sin ，则. 4已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1,2，2B1,1 C2，2D1，1,0,2，2【答案】C5已知tan，则tan_.【答案】【解析】tantantantan.第三节 三角函数的图象与性质突点(一)三角函数的定义域和值域 【基本知识通
8、关】1.三角函数的图像和性质三角函数正弦函数ysin x余弦函数ycos x正切函数ytan x图象定义域RR值域1,11,1R最值当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值12.三角函数值域或最值的三种求法直接法形如yasin xk或yacos xk的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出化一法形如yasin xbcos xk的三角函数，化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)换元法形如yasin2xbsin xk的三角函数，
9、可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)【知识应用通关】1.函数y 的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)D(，)【答案】C【解析】要使函数有意义，则cos x0，即cos x，解得2kx2k，kZ.2.函数ylg(sin 2x)的定义域为_【答案】【解析】由得 3x或0x0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin
10、(x)0A0A03.由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法4.“五点法”画图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)，(，0)，(2，0)，图象如图所示(2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)，(，1)，(2，1)，图象如图所示5三角函数图象的变换函数yAsin(x)k(A0，0)中，参数A，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”6.三角函数图象变换
11、的两个要点常规方法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x，如果x的系数不是1，则需把x的系数提取后再确定平移的单位长度和方向方程思想可以把判断的两函数变为同名的函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解，如ysin 2x变为ysin，可设平移个单位长度，即由2(x)2x解得，向左平移，若0说明向右平移|个单位长度7.确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，bMm2；(2)求：确定函数的周期T，则可得2T；(3)求：常用的方法
12、有代入法和五点法代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口【知识应用通关】1.设kR，则函数f(x)sink的部分图象不可能为()【答案】D2.函数f(x)Acos(x)(A0，0，0)的部分图象如图所示，为了得到g(x)Asin x的图象，只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向左平移个单位长度C向右平移个单位长度D向右平移个单位长度【答案】B【解析】由题图知A2，T，2，f(x)2cos(2x)，将代入得cos1，0，0，f(x)2c
13、os2sin，故将函数yf(x)的图象向左平移个单位长度可得到g(x)的图象3.已知函数f(x)sin 2x2cos2x，下列结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期是B函数f(x)的图象关于直线x对称C函数f(x)在区间上是增函数D函数f(x)的图象可由g(x)2sin 2x1的图象向右平移个单位长度得到【答案】D【解析】f(x)sin 2x2cos2xsin 2xcos 2x12sin1，函数f(x)的最小正周期为，故A正确；当x时，函数取最大值，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，故B正确；由2k2x2k得kxk(kZ)，由此可知函数f(x)在区间上是增函数，故C正确；函数g(x)2
14、sin 2x1的图象向右平移个单位长度得到(x)2sin1 的图象，不是函数f(x)2sin1的图象，故D错误所以选D.4.已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()Af(x)sinBf(x)sinCf(x)sinDf(x)sin【答案】D5.已知f(x)sin(x)的最小正周期为，若其图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则()A2，B2，C4，D2，【答案】D【解析】由已知条件得，因而2，所以f(x)sin(2x)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)sinsin的图象，由题意知g(x)为偶函数，则k，kZ，即k，kZ，又|，所以. 6.设f
15、(x)2sin(x)sin x(sin xcos x)2.(1)把f(x)的单调递增区间；(2)把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g的值所以g2sin 1.考点(二)三角函数模型的简单应用 【基本知识通关】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模2.解决三角函数实际应用题的四个注意点(1)活用辅
16、助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化；(3)“x”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合【知识应用通关】1.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示，则当t秒时，电流强度是()A5安B5安C5安D10安【答案】A2某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ，12月份的平均气温最低，为18 ，则10月份的平均气温值为_.【答案】20.5【解析】依题意知，a23，A5，所以y235cos，当x10时，y235cos20.5.3为迎接夏季旅游旺季的到来，少林
17、寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； 2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？【答案】（1）f(x)200sin300.（2）即
18、只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.(2)由条件可知，200sin300400，化简得sin，即2kx2k，kZ，解得12k6x12k10，kZ.因为xN*，且1x12，故x6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物.第五节 三角恒等变换【基本知识通关】1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()cos cos sin sin C()cos()cos_cos_sin_sin_S()sin()sin_cos_cos_sin_S()sin()sin_cos_cos_sin_T()tan()；变形：tan tan tan()(1tan
19、 tan )T()tan()；变形：tan tan tan()(1tan tan )2.二倍角公式S2sin 22sin_cos_；变形：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2C2cos 2cos2sin22cos2112sin2；变形：cos2，sin2T2tan 23.三角函数式的化简要遵循“三看”原则4给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)(3)将已知条件代入所求式子，化简求值5给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值已知正切函数值，选正切函数；
20、已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2，选正弦函数较好(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角【知识应用通关】1. 4sin 80()A.B C.D23【答案】B2.已知cos，0，则sinsin ()ABC.D.【答案】A3.若，则sin的值为()A.BC.D【答案】C【解析】(cos sin )sin，sin.故选C.4.已知sin 2，则cos2()A.BC.D【答案】C【解析】法一(利用两角差的余弦公式)：cos22(cos sin )2(12sin cos )(1sin 2).法二(
21、利用余弦的二倍角公式)：cos2.5.已知，且(tan tan 2)2tan 3tan 0，则tan ()AB. CD3【答案】D6.定义运算adbc.若cos ，0，则_.【答案】【解析】依题意有sin cos cos sin sin(). 又0，00)求周期；根据自变量的范围确定x的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数yAsin(x)t或yAcos(x)t的单调区间【知识应用通关】1已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求
22、f(x)的最小正周期及单调递增区间2设函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1)求的值；(2)若函数yf(x)是奇函数，求函数g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间【答案】（1）（2），【解析】(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin. 第六节 正弦定理和余弦定理考点(一)利用正、余弦定理解三角形 【基本知识通关】定理正弦定理余弦定理内容2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2b2c22bccos A；b2a2c22accos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin A，b2 R
23、sin_B，c2 R sin_C；sin A；sin B；sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A；2 Rcos A；cos B；cos C2.利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况3.利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角(2)已知三边，求三个内角4.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法【知识应用通关】1
24、.在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1B2C3D4【答案】A【解析】由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去)故选A.2.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C所对的边，若3bcos Cc(13cos B)，则sin Csin A()A23B43C31D32【答案】C【解析】由正弦定理得3sin Bcos Csin C3sin Ccos B,3sin(BC)sin C，因为ABC，所以BCA，所以3sin Asin C，所以sin Csin A31，故选C. 3.在ABC中，角
25、A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a4，b2，sin 2Asin B，则边c的长为()A2B3C4D2或4【答案】D【解析】由sin 2Asin B，得2sin Acos Asin B，由正弦定理得24cos A2，所以cos A.再由余弦定理得cos A，解得c2或c4.故选D. 4.在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30B60 C120D150【答案】A5.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b2ab.(1)若，B，求sin A；(2)若4，AB边上的高为，求C.【答案】（1）（2）【解析】(1)由已知
26、B，a2b2ab，结合正弦定理得考点(二)正、余弦定理的综合应用【基本知识通关】1.应用余弦定理判断三角形形状的方法在ABC中，c是最大的边，若c2a2b2，则ABC是钝角三角形2判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个结论3.三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接
27、求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解4.求解与三角形面积有关的问题的步骤5.三角形中最值范围问题的解题思路要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大提醒涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的
28、范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化6.平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果提醒做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题【知识应用通关】1.在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B2.在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知
29、a2，c2，且C，则ABC的面积为()A.1B.1C4D2【答案】A【解析】由正弦定理，得，所以sin A，又aBC10，由cos 60，得(ABAC)21003ABAC，而ABAC2，所以2，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10,205.如图，在ABC中，AB2，cos B，点D在线段BC上(1)若ADC，求AD的长(2)若BD2DC，ACD的面积为，求的值【答案】（1）（2）4考点(三)解三角形应用举例 【基本知识通关】1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(
30、如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，角为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比5.求解高度问题应注意的问题(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于
31、地面或海平面，把空间问题转化为平面问题6.处理距离问题的策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理7.解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点【知识应用通关】1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等
32、于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa kmB.a kmC2a kmD.a km【答案】D【解析】依题意知ACB1802040120，在ABC中，由余弦定理知AB a(km)，即灯塔A与灯塔B的距离为a km.2.为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音比B地晚秒(已知声音传播速度为340米/秒)，在A地测得该仪器至高H处的仰角为30，则这种仪器的垂直弹射高度HC_米【答案】1403.如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin 的值为_【答案】
