1、平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题 知识拓展1.极化恒等式：ab(ab)2(ab)2.几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)PQ2NM2(平行四边形模式)；(2)PO2NM2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围). 题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】 (1)在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_.(2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的
2、一个动点，则的取值范围是_.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得AM2BC2910016.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2.又由极化恒等式得PD2AB2PD23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin1，所以2，6.答案(1)16(2)2，6【训练1】 (1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_.(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A.2 B.3 C.6
3、 D.8解析(1)取AE中点O，设AEx(0x1)，则AOx，DO2AE212x21.(2)如图，由已知|OF|1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得|PE|2|OF|2|PE|2，|PE|，的最大值为6.答案(1)1(2)C题型二平面向量中的最值(范围)问题类型1利用函数型【例21】 (1)设为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|bta|的最小值为1，则()A.若确定，则|a|唯一确定B.若确定，则|b|唯一确定C.若|a|确定，则唯一确定D.若|b|确定，则唯一确定(2)已知m，n是两个非零向量，且|m|1，|m2n|3，则|mn|n|的最大值为()A. B. C.4 D.5
4、解析(1)由|bta|的最小值为1知(bta)2的最小值为1，令f(t)(bta)2，即f(t)b22tabt2a2，则对于任意实数t，f(t)的最小值为1，化简得b2(1cos2)1，观察此式可知，当确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m2n)24n24mn19，所以n2mn2，所以(mn)2m22mnn25n2，所以|mn|n|n|.令|n|x(0x)，f(x)x，则f(x)1.由f(x)0，得x，所以当0x0时，当x时，f(x)0(x0)，所以函数f(x)在0，)上单调递增，则当tan 0时，取得最小值.综上所述，的最小值为.答案(1)42(2)0，1类型2利用不等式型【例22】
5、(1)(2020浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD，E，F分别是边BC，DC上的两个动点，xy，若xy3，则|的最小值为_.(2)(一题多解)(2019七彩阳光联盟三联)已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，ab0，则|2ca|的最小值为()A. B.2 C. D.(3)(2016浙江卷)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若对任意单位向量e，均有|ae|be|，则ab的最大值是_.解析(1)因为四边形ABCD是正方形，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1，1)，B(1，0)，C(0，0).设E(a，0)，F(0，b)，则0a，b1.所以(a1，1)，(1，b
6、1)，因为xy，所以有y2a，x2b.因为xy3，所以ab1.所以|，所以|min，当且仅当ab时取到最小值.(2)法一因为|a|b|c|1，且ab.所以通过计算有|2ca|c2a|，所以|2ca|c2a|，故选A.法二因为|a|b|c|1，且ab，所以可设a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，则有x2y21，所以|2ca|，故选A.(3)由已知可得|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式对任意单位向量e都成立.|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，ab.答案(1)(2)A(3)【训练22】 (1)(2020杭州四中仿真)若非零向量a，b满足a2(5a4
7、b)b，则cosa，b的最小值为_.(2)(2019浙江名师预测卷一)已知向量a，b满足|b|1，|ab|2|ab|，则|a|2|b|2的取值范围是()A. B.C. D.(3)(2020温州适应性测试)已知平面向量a，b，c满足：ab0，|c|1，|ac|bc|5，则|ab|的最小值为()A.5 B.6 C.7 D.8解析(1)由a2(5a4b)b得ab(a24b2)2|a|b|，则cosa，b，当且仅当|a|2|b|时等号成立，所以cosa，b的最小值为.(2)因为|b|1，所以|(ab)(ab)|2|b|2.两边平方得|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)4，又|ab|2|ab|，所
8、以|a|2|b|2，又因为|ab|ab|(ab)(ab)|ab|ab|，即|ab|23|ab|，故|ab|2，所以|a|2|b|2的取值范围是，故选A.(3)|ab|2|(ac)(bc)|2(ac)22(ac)(bc)(bc)2502(abacbc1)482(ab)c482|ab|cos (其中为ab与c的夹角)，因为|ab|ab|，所以|ab|2482|ab|cos ，则由cos 1，1，得482|ab|ab|2482|ab|，解得6|ab|8，即|ab|的最小值为6，此时向量ab的方向与向量c的方向相反，故选B.答案(1)(2)A(3)B类型3利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例23】
9、(1)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则的最大值为_.(2)已知|a|2，|b|c|1，则(ab)(cb)的最大值为_，最小值为_.解析(1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，A，当在方向上的投影最大时，最大，此时取C(0，5)，D(，0)，即()max(，5)24.(2)设Macabbc，则(ab)(cb)acabbcb21acabbc1M.而(bac)262M，M3(bac)2，当(bac)20时，Mmin3，(ab)(cb)min132；
10、当b，a，c共线且同向时，Mmax3(121)25，(ab)(cb)max156.答案(1)24(2)62【训练23】 (1)已知向量a，b，c满足|b|c|2|a|1，则(ca)(cb)的最大值是_，最小值是_.(2)已知|2，|1，且，记的最大值为M，最小值为m，则Mm()A.6 B.4 C.2 D.4解析(1)由题意得|a|，|b|c|1，则(ca)(cb)|c|2cbcaab|c|2(abc)2(|a|2|b|2|c|2)(abc)2，则当向量a，b，c同向共线时，(ca)(cb)取得最大值3，当abc0时，(ca)(cb)取得最小值.(2)因为()()()()()()3224，令3，
11、2，4，如图，设与夹角为(0，).因为.所以(32)34cos ，又因为cos 1，1，所以在方向上的投影d1，7，即M3，m5，所以Mm2，故选C.答案(1)3(2)C类型4利用轨迹图形性质(数形结合)型【例24】 (1)(一题多解)(2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是()A.1 B.1C.2 D.2(2)已知向量|a|3，|b|6，ab9，则|at(ba)|(1t)(ba)b|(其中t0，1)的最小值是_.解析(1)法一设O为坐标原点，a，b(x，y)，e(1，0)，由b24eb30得x2y24x
12、30，即(x2)2y21，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线yx(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.故选A.法二由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.设b，e，3e，所以be，b3e，所以0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a，作射线OA，使得AOE，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|1.故选A.(2)由cosa，b得a，b的夹角为60，又因为|a|3，|b|6，所以OAB为直角三角形，B30.如图，令a，b，BOA60，t，则|t|，|，问题转化为当点C在线
13、段AB上运动时，求|的最小值.作点D关于线段AB对称的点G，连接OG，则OG即为所求的最小值.在RtBDE中，BED90，BD2，B30，则DE1，DG2DE2，在ODG中，OD4，ODG120，DG2，由余弦定理得OG2.答案(1)A(2)2【训练24】 (1)已知|a|b|1，向量c满足|c(ab)|ab|，则|c|的最大值为_.(2)(一题多解)(2019宁波模拟)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|cb|1，则|ac|的取值范围为_.解析(1)由|c(ab)|ab|得向量c的终点的轨迹为以向量ab的终点为圆心，|ab|为半径的圆，则|c|的最大值为|ab|ab|，又因为|ab|
14、ab|2，当且仅当|ab|ab|，即ab时等号成立，所以|c|的最大值为2.(2)法一令mac，则问题转化为|m|的取值范围.由三角不等式有|m|ab|m(ab)|，则|ab|1|m|1|ab|，又|a|b|ab|a|b|，即1|ab|3，故0|m|4，即|ac|的取值范围为0，4.法二如图，由已知，作b，分别以点O，B为圆心作单位圆，则a的终点A在圆O上，c的终点C在圆B上，则c(a)ca，故|ac|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0|4，即|ac|的取值范围为0，4.答案(1)2(2)0，4 补偿训练一、选择题1.(2013浙江卷)在ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0BAB
15、，且对于边AB上任一点P，恒有，则()A.ABC90 B.BAC90C.ABAC D.ACBC解析取BC边中点D，由极化恒等式得22，22，由，得22，即|，D到AB的最短距离为P0D，设AB的中点为P，又P0BAB，DPCP，CPAB，故ABAC.答案C2.(2020诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则()的最小值为()A. B. C. D.1解析2，()2，取OC中点D，由极化恒等式得PD2OC2PD2，又PD0，()的最小值为.答案C3.(一题多解)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则()A. B.C.
16、 D.解析法一2，圆O的半径为1，|，()()2()01.法二OF，由极化恒等式得OF2DE21.答案B4.如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且xy，则的最小值为()A. B.2 C. D.解析由图可设(1)，(1)，其中，(0，1)，则()(2).由题知，x，y2，所以有xy2，所以(xy) ，当且仅当y2x，即x，y时，取等号，故选D.答案D5.在ABC中，BC2，A45，B为锐角，点O是ABC外接圆的圆心，则的取值范围是()A. B.C. D. 解析依题意得ABC的外接圆半径R，|，如图所示，A在弧A1C上(端点除外)，与同向，此时有最大值2，又2，故.故选A.答案A6.记
17、maxa，b在AOB中，AOB90，P为斜边AB上一动点.设Mmax，则当M取最小值时，()A. B.C. D.解析M取最小值时，即0，亦即OPAB.根据直角三角形的射影定理可得，故选C.答案C7.(2019浙江名师预测卷四)已知a，b是单位向量，向量c满足|cba|ab|，则|c|的最大值为()A.2 B.2 C.3 D.3解析由|c(ba)|ab|得向量c的终点的轨迹为以向量ba的终点为圆心，|ab|为半径的圆，则|c|的最大值为|ab|ba|.又因为|ab|ba|2.当且仅当|ab|ba|，即ab时等号成立，所以|c|的最大值为2.答案B8.(2020浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形AB
18、CD中，AB1，AD2，动点P在以C为圆心且与BD相切的圆上，若，设2的最大值为M，最小值为N，则MN的值为()A. B. C. D.解析如图，以C为坐标原点，分别以直线BC，CD为x，y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，A(2，1)，由已知，圆C的方程为x2y2，设P，又，则即2(sin cos )2sin2，故MN，故选C.答案C9.(2018天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最小值为()A. B.C. D.3解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，ABA
19、D1，BAD120，所以A(0，0)，B(1，0)，D.设C(1，m)，E(x，y)，所以 ，因为ADCD，所以0，则()0，解得m，即C(1，).因为E在CD上，所以y，由kCEkCD，得，即xy2，因为(x，y)，(x1，y)，所以(x，y)(x1，y)x2xy2(y2)2y2y24y25y6，令f(y)4y25y6，y.因为函数f(y)4y25y6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min4 256.所以的最小值为，故选A.答案A二、填空题10.在ABC中，BC3，4，则BC边上的中线AM的长是_.解析因为(2)22，2(42)，即|，所以BC边上的中线AM的长为.答案11.在面积S
20、2的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则2的最小值是_.解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得222222(其中h为A点向BC边作的高)，当且仅当时取等号.由上可知222S2.答案212.在RtABC中，CACB2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN，则的取值范围是_.解析取MN的中点为P，由极化恒等式得(2)222.问题转化为求|的取值范围，当P为AB的中点时，|取最小值为，则的最小值为；当M与A(或N与B)重合时，|取最大值为，则的最大值为2，所以的取值范围是.答案13.(2020浙江新高考仿真卷二)在ABC中，A120，BC2，AC2，则AB_；当|取
21、到最小值时，则_.解析在ABC中，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A，即(2)222AB222ABcos 120，解得AB6，则cos C，则|2|22|22(2)2222222422052，则当时，|取得最小值.答案614.若非零向量a和b满足|ab|b|2，则|a|的取值范围是_，|ab|的取值范围是_.解析因为|ab|b|a|abb|ab|b|4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0，4，因为|ab|ab|2|b|(ab)(ab)|ab|ab|，所以4|ab|ab|4，|ab|ab|4，又|ab|2，解得|ab|的取值范围是2，6.答案(0，4)2，615.(202
22、0杭州三校三联)如图，圆O是半径为1的圆，OA，设B，C为圆上的任意2个点，则的取值范围是_.解析设a，b，c，则有|a|，|b|c|1，则(ca)(cb)|ca|cb|(|c|a|)(|c|b|)23，当且仅当a，b同向共线，且与c反向共线时，等号成立，所以的最大值为3.(ca)(cb)1c(ab)ab1|c|ab|ab1|ab|ab1ab，令abt，则易得t，(ca)(cb)1t，设f(t)1t，则f(t)1.易得当t时，f(t)1t取得最小值.综上所述，的取值范围为.答案16.已知平面向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|ca|cb|，则|c|的最小值为_，此时ab_.解析由|ca|c
23、b|，得c22aca2c22bcb2，即2bc2acb2a23，则(ba)c|ba|c|(|b|a|)|c|3|c|，所以|c|，当且仅当a与b方向相反且a，b，c共线时等号成立，所以|c|的最小值为，此时ab|a|b|cos 2.答案217.已知正三角形ABC的边长为4，O是平面ABC内的动点，且AOB，则的最大值为_.解析如图，圆E2为ABC的外接圆，圆E1与圆E2关于直线AB对称，由题意知O在圆E1，E2的优弧上(圆E1，E2半径相等)，设AB的中点为D，()|cosADO，易知当ADO为锐角，且在方向上的射影最大时，取得最大值，易知在方向上射影的最大值为ABO外接圆的半径，故所求最大值
24、为4.答案18.(2019浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1，当每个i(i1，2，3，4，5，6)取遍1时，|123456|的最小值是_，最大值是_.解析如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则(1，0)，(0，1).设a12345612345()6()(1356)(2456)(1356，2456).故|a|.i(i1，2，3，4，5，6)取遍1，当13560，24560时，|123456|取得最小值0.考虑到56，56有相关性，要确保所求模最大，只需使|1356|，|2456|尽可能取到最大值，即当13562，24564时可取到最大值，|123456|的最大值为2.答案02
