1、第4讲复数1复数的有关概念(1)复数的概念形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a与b分别叫做它的实部与虚部.若b0，则abi为实数，若b0，则abi为虚数，若a0且b0，则abi为纯虚数(2)复数相等abicdiac且bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数abi与cdi共轭ac且bd(a，b，c，dR)(4)复数的模向量的模叫做复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|，即|z|abi| (a，bR)2复数的几何意义(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi平面向量(a，bR)3复数的运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z
2、2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(4)除法：i(cdi0)1(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(2)i4ni4n1i4n2i4n30(nN)2z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|，|zn|z|n(nN)3(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义：复数z1z2是所对应的复数1(1i)(2i)()A3i B3iC3i D3i答案
3、D解析(1i)(2i)2i2ii23i.2在复平面内，向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量对应的复数是()A12i B12iC34i D34i答案D解析因为向量对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，所以向量对应的复数是2i，且，所以向量对应的复数是(13i)(2i)34i.故选D.3(2020浙江高考)已知aR，若a1(a2)i(i为虚数单位)是实数，则a()A1 B1 C2 D2答案C解析因为a1(a2)i为实数，所以a20，所以a2.故选C.4已知复数z，则()Az的模为2 Bz的实部为1Cz的虚部为1 Dz的共轭复数为1i答案C解析根据题意可知，1i，所以z的虚部为1
4、，实部为1，模为，z的共轭复数为1i.故选C.5(2021新高考卷)复数在复平面内对应的点所在的象限为()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析，所以该复数在复平面内对应的点为，该点在第一象限，故选A.6给出下列命题：两个不是实数的复数不能比较大小；复数i1的共轭复数是i1；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x1；若(z1z2)2(z2z3)20，则z1z2z3.其中错误命题的序号是_.答案解析显然为真命题对于命题，复数i1的共轭复数是i1，所以该命题是错误的对于命题，若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则x210且x23x20，所以x1，所以该命题是错误的对于命题
5、，若(z1z2)2(z2z3)20，可取z1i，z20，z31，z1z2z3，所以该命题是错误的考向一复数的运算例1(1)(2021新高考卷)已知z2i，则z(i)()A62i B42i C62i D42i答案C解析z(i)(2i)(2ii)(2i)(22i)44i2i2i262i.故选C.(2)(2020新高考卷)()A1 B1 Ci Di答案D解析i，故选D.(3)(2021武汉模拟)_.答案i解析i.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子
6、分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式1.(2020全国卷)若(1i)1i，则z()A1i B1i Ci Di答案D解析因为i，所以zi.故选D.2(2021全国乙卷)设2(z)3(z)46i，则z()A12i B12i C1i D1i答案C解析设zabi(a，bR)，则abi,2(z)3(z)4a6bi46i，所以a1，b1，所以z1i.3(2021乌鲁木齐模拟)已知复数z1i(i是虚数单位)，则()A22i B22iC2i D2i答案B解析22i.考向二复数运算与复数有关概念的综合问题例2(1)设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a()A2 B C D2答案B解析因为是
7、纯虚数，所以2a10且a20，所以a.(2)(2021天津市河北区二模)若复数(aR)的实部和虚部相等，则实数a的值为()A1 B1 C D答案C解析复数i的实部和虚部相等，解得a.故选C.(3)(2020全国卷)若z1i，则|z22z|()A0 B1 C D2答案D解析z2(1i)22i，则z22z2i2(1i)2，故|z22z|2|2.故选D.求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解4.已知复数z12i，z21ti
8、(tR)，且满足1z2是实数，则z2()A1i B1iC.i Di答案B解析1z2(2i)(1ti)2t(2t1)i是实数，2t10，即t，z21i.故选B.5(2022宝鸡模拟)已知i为虚数单位，实数a，b满足(2i)(abi)(8i)i，则ab的值为()A6 B6C5 D5答案A解析由题意，得(2ab)(a2b)i18i，解得ab6.6(2021临沂摸底)设zi3，则z的虚部是()A1 BiC2i D2答案D解析根据复数的乘法与除法运算，则zi3i2iii2i.根据虚部的定义，可知虚部为2.故选D.考向三复数的几何意义例3(1)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为12
9、0，且复数z的模为2，则复数z为()A1i B2C(1，) D1i答案D解析设复数z对应的点为(x，y)，则x|z|cos12021，y|z|sin1202，所以复数z对应的点为(1，)，所以z1i.(2)(2021长沙市长郡中学高三适应性考试)已知i为虚数单位，mR，若复数(2i)(mi)在复平面内对应的点位于实轴上，则复数的虚部为()A1 BiC1 Di答案A解析(2i)(mi)2m1(2m)i，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则2m0，得m2，复数1i，即复数的虚部是1，故选A.(3)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21
10、B(x1)2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21答案C解析由已知条件，可得zxyi.|zi|1，|xyii|1，x2(y1)21.故选C.复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值7.(2021广东六校联考)如图，复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，则z1z2()A0 B2iC2i D12i答案C解析由复数几何意义，知z112i，z2i，z1z2i(12i)2i.8(2
11、021山东聊城月考)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，则()A1i BiC1i D1i答案B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z12i，所以z22i，所以i.9(2021山东省、海南省新高考高三4月模拟)已知(2i)i2021，则复平面内与z对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由(2i)i2021，得i，zi.复平面内与z对应的点在第三象限故选C.一、单项选择题1(2021全国甲卷)已知(1i)2z32i，则z()A1i B1iCi Di答案B解析由(1i)2z32i，得z1i.故选B.2(2021厦门一模)设zi3，
12、则|()Ai3 Bi3Ci3 Di3答案B解析zi3，i3，|i3.故选B.3(2021海口高考调研考试)在复平面内，复数对应的点与复数i对应的点的距离是()A1 B C2 D2答案C解析因为i，所以复数对应的点为(0,1)又因为复数i对应的点为(0，1)，所以这两点之间的距离为2.故选C.4(2021葫芦岛模拟)已知n2i(m，nR)，则复数zmni在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析由n2i，得m3i(n2i)(2i)(2n2)(4n)i，解得复数zmni在复平面内对应的点的坐标为(4，1)，位于第二象限故选B.5(2021湖南省长郡中学高三月考
13、)复数2021()A1 B1 Ci Di答案C解析i，2021i2021(i4)505ii.6(2021南宁模拟)若复数z满足(13i)z(1i)2，则|z|()A. BC. D答案D解析由(13i)z(1i)22i，得zi，所以|z| .故选D.7(2022成都模拟)已知复数z126i，z22i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|()A. B5C2 D2答案A解析复数z126i，z22i，则z1，z2在复平面内对应的点分别为A(2,6)，B(0，2)，线段AB的中点C(1，2)对应的复数为z12i，则|z|.故选A.8(2021聊城二模)在复
14、数范围内，实系数一元二次方程一定有根已知方程x2axb0(a，bR)的一个根为1i(i为虚数单位)，则()A1i B1iC2i D2i答案B解析x11i是关于x的实系数一元二次方程x2axb0的一个根，x21i也是此方程的一个虚根，a(x1x2)(1i1i)2.所以1i.故选B.二、多项选择题9(2021新高考八省联考)设z1，z2，z3为复数，z10，下列命题中正确的是()A若|z2|z3|，则z2z3B若z1z2z1z3，则z2z3C若2z3，则|z1z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，则z1z2答案BC解析由复数模的概念可知，|z2|z3|不能得到z2z3，例如z21i，z31i，A
15、错误；由z1z2z1z3可得z1(z2z3)0，因为z10，所以z2z30，即z2z3，B正确；因为|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|，而2z3，所以|2|z3|z2|，所以|z1z2|z1z3|，C正确；取z11i，z21i，显然满足z1z2|z1|2，但z1z2，D错误故选BC.10(2021南京市玄武高级中学高三押题)下列命题正确的是()A若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数Bz1，z2都是复数，若z1z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数C复数z是实数的充要条件是z(是z的共轭复数)D已知复数zxyi(x，yR)且|z2|，则的最大值为答案BCD解析对于A，z
16、1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由abiabi(a，bR)得b0，故C正确；对于D，|z2|，(x2)2y23表示如图所示的圆由图可知max.11(2021石家庄高三模拟)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是()A复数z的虚部为B复数z的共轭复数52iC复数zi在复平面内对应的点位于第二象限D复数z满足R，则zR答案ABD解析对于A，zi，其虚部为，故A正确；对于B，z(25i)i52i，故52i，故B正确；对于C，zi，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设zabi(a，bR)，则，又R，
17、得b0，所以zaR，故D正确12(2021济南模拟)已知复数z1cos2isin2(其中i为虚数单位)，下列说法正确的是()A复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限Bz可能为实数C|z|2cosD.的实部为答案BCD解析z1cos2isin22cos(cosisin)，.cos0，sin(1,1)则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限；z可能为实数；|z|2cos；tan，的实部为.故选BCD.三、填空题13(2020江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z(1i)(2i)的实部是_.答案3解析复数z(1i)(2i)2i2ii23i，复数z的实部为3.14如图所示，平行四边形OABC，顶点
18、O，A，C分别表示0,32i，24i.向量所表示的复数为_，向量所表示的复数为_.答案52i16i解析，所以所表示的复数为(32i)(24i)52i.，所以所表示的复数为(32i)(24i)16i，即B点对应的复数为16i.15(2021开封期中)若|z1z2|1，则称z1与z2互为“邻位复数”已知复数z1ai与z22bi互为“邻位复数”，a，bR，则a2b2的最大值为_.答案82解析由题意，|ai2bi|1，故(a2)2(b)21，点(a，b)在圆(x2)2(y)21上，而表示点(a，b)到原点的距离，故a2b2的最大值为12(1)282.16(2020全国卷)设复数z1，z2满足|z1|z
19、2|2，z1z2i，则|z1z2|_.答案2解析解法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|2，a2b24，c2d24，z1z2abicdii，ac，bd1，(ac)2(bd)2a2c22acb2d22bd4，2ac2bd4，z1z2abi(cdi)ac(bd)i，|z1z2|2.解法二：|z1|z2|2，可设z12cos2sini，z22cos2sini，z1z22(coscos)2(sinsin)ii，两式平方作和，得4(22coscos2sinsin)4，化简得coscossinsin.|z1z2|2(coscos)2(sinsin)i|2.四、解答题17复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.因为1z2是实数，所以a22a150，解得a5或a3.因为a50，所以a5，故a3.18已知复数zbi(bR)，是实数，i是虚数单位(1)求复数z；(2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围解(1)因为zbi(bR)，所以i.又因为是实数，所以0，所以b2，即z2i.(2)因为z2i，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2(m24)4mi，又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限，所以解得m2，即实数m的取值范围为(，2)
