1、第16讲 余角和补角【教材精讲】教学目标：1、在具体情境中了解余角与补角，方位角的意义。2、懂得等角的余角相等，等角的补角相等，并能运用这些性质解决一些简单的实际问题。3、掌握方位角的判别与应用。4、经历观察、操作、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。教学重难点：余角与补角的性质.方位角的判别与应用.教学过程：一、提出问题用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.说出一副三角尺中各个角的度数.30，60，90；45，45，90；60,60,60。二、探究新知1.余角与补角的概念在一副三角尺中，每块都有一个角是90度，而其它两个角的和是90度.一
2、般情况下，如果两个角的和等于90度(直角)，我们就说这两个角互为 余角 ，即其中每一个角是另一个角的余角.例如，1与2互为余角，1是2的余角，2也是1的余角.同样，如果两个角的和等于180度(平角)，就说这两个角互为 补角 ，即其中一个角是另一个角的补角.2.余角与补角的性质问题1：如果1与2互余，3与4互余，并且1=3，那么2与4相等吗?为什么? 问题2：如果1与2互补，3与4互补，并且1=3，那么2与4相等吗?为什么?学生分组讨论、交流，说出各自的理由，最后师生共同归纳余角与补角的性质： 余角性质：等角的余角相等；补角性质：等角的补角相等。 【答案】（1）2与4相等 （2）2与4相等【解析
3、】（1）1与2互余，3与4互余 1 + 2 = 90 3 + 4 = 90又 1 = 3 2 = 4（2）1与2互补，3与4互补来源:学。科。网Z。X。X。K 1 + 2 = 180 3 + 4 = 180又 1 = 3 2 = 4巩固新知【例1】比一比，看谁填得快.角的余角的补角5304254622378238来源:学#科#网Z#X#X#K【答案】角的余角的补角5851753060150424813854361266223273711737782381136521013652【解析】试题分析：根据余角、补角的定义直接计算。的余角 = 90- 角；的补角 = 180- 角。【例2】已知一个角的
4、补角是这个角的余角的3倍，求这个角。【答案】45【解析】试题分析：根据该角的余角和补角的数量关系，列出等量关系式，即可取得该角的度数。设这个角为，180- =（90- ) 3，求出来 = 453.方位角在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上述类似问题，即如何描述一个物体的方位.方位的表示通常用“北偏东多少度”、“北偏西多少度”或者“南偏东多少度”、“南偏西多少度”来表示。“北偏东45度”、“北偏西45度”、“南偏东45度”、“南偏西45度”，分别称为“东北方向”、“西北方向”，“东南方向”、“西南方向”。说明：用量角器画射线要注意两点：一是先从正南或正北方向作角的始边，二要分清东南西北
5、，理解偏东、偏西的意义.4.已知点O在点A的南偏东30方向，那么，点A应在点O的( )A.南偏东60方向 B.北偏东30方向 C.北偏西60方向 D.北偏西30方向【答案】D【解析】试题分析：画出点O和点A的相对位置，不难发现点A应在点O的北偏西30方向。三、课堂小结：这节课你学习了哪些知识？【达标训练】一、选择题（每题3分）1若A=64，则它的余角等于（ ） A116 B26 C64 D50【答案】B【解析】试题分析：根据余角定义，列出等量关系式，直接计算求得。余角 = 90 - 64 = 26故选B。考点：余角的定义。2甲看乙的方向是北偏东30，那么乙看甲的方向是（ ） A南偏东 60 B
6、南偏西 60 C南偏东 30 D南偏西 30【答案】D【解析】试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以甲为中心，画十字，建立坐标。“乙的方向为北偏东30”，画出乙的位置；然后以乙为中心，画十字，建立坐标去看甲就可以了。从而确定乙看甲的方向是南偏西 30。故选D。考点：方位角。3如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：90；90；（+）；（）正确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【答案】B【解析】试题分析：根据题中的等量关系，验证每个式子是否为的余角，即90-。 90-表示的余角， 正确；-90 = 180-90 = 90-，正确； （+）= 180= 90， 错误； （ -）
7、=（180- -）= 90-， 正确。正确的式子有3个。故选B。考点：余角和补角的定义。4如图，南偏东15和北偏东25的两条射线组成的角（即AOB）等于（ ）度 A40 B80 C50 D140【答案】D【解析】试题分析：根据方位角的定义，找到其与AOB的数量关系。南偏东15和北偏东25的两条射线组成的角 = 180- 15- 25= 140。故选D。考点：方位角。5如图，AOB 是直角，AOC=38，OD平分BOC，则AOD的度数为（ ） A52 B38 C64 D26【答案】C【解析】试题分析：先找到AOD的等量关系式，再确定未知角的度数，即可计算得出最终结果。 AOD = AOC + D
8、OC又OD平分BOC，AOB 是直角得DOC = BOC = （90 - AOC） AOD = （90 + AOC）= （90 + 38）= 64故选C。考点：角度的计算，角平分线，余角的定义。6下列说法中正确的个数是（ ）锐角的补角一定是钝角；一个角的补角一定大于这个角；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等；锐角和钝角互补：如果互补的两个角相等，那么这两个角都是 90 A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】试题分析：根据余角和钝角的概念，可以正面验证，也可以反面举例，来判断每条说法的正误。锐角 90，为钝角，说法正确；钝角的补角为锐角，小于其本身，说法错误；同角的补角相等，正确；只有锐
9、角+钝角=180，二者才互补，错误；+=180，且=，得= 90，正确。正确的说法为。故选C。考点：余角和钝角的概念。7. 已知A=75，则A的补角等于（） A125 B105 C15 D95【答案】B【解析】试题分析：根据钝角的概念，得A + A的补角=180，进而算出A的补角。A的补角=180-A = 180- 75 = 105考点：钝角的概念。8一个角的度数比它的余角的度数大20，则这个角的度数是（ ） A20 B35 C45 D55【答案】D【解析】试题分析：求谁设谁，根据题目中的数量关系，列出等式，进行求解。设这个角是，则余角是90 - 该角比其余角大20 -(90 -)=20-90
10、 +=202 = 90 +20 =110 = 55故选D。考点：角度的计算，余角的定义。9如果一个角的补角是 120，那么这个角的余角是（ ）A150 B90 C60 D30 【答案】D【解析】试题分析：根据补角和余角的概念，直接计算即可。这个角为180-120=60这个角的余角为90-60=30故选D。考点：余角和补角的概念。二、填空题（每题3分）101的余角是50，2的补角是150，则1与2的大小关系是_【答案】12【解析】试题分析：根据补角和余角的概念，求出1与2的度数，直接比较即可。1余角是50，2的补角是1501=90-50=402=180-150=3012故答案为12。考点：余角和
11、补角的概念。11若一个角的余角比它的补角的还多1，则这个角的大小是_【答案】63【解析】试题分析：求谁设谁，根据补角和余角的概念，列出所求角的等量关系式，直接计算即可。设这个角为，则它的余角为（90），补角为（180），根据题意得， 解之得，=63故答案为63。考点：余角和补角的概念，角度的计算。12一个角的余角是 5438，则这个角的补角是_【答案】14438【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。由题，这个角的补角 = 180 - 这个角又 这个角 = 90 - 这个角的余角 这个角的补角 = 180 - （90 - 这个角的余角） = 180 - （
12、90 - 5438）= 14438故答案为14438。考点：余角和补角的概念，角度的计算。13南偏东25和北偏东35的两条射线组成的角等于_度【答案】120【解析】试题分析：根据题目中射线的角度关系，可以画出方位角的位置，直观求出两条射线组成的角度。所求角的度数 = 180 -（25 + 35 ）= 120。故答案为120。考点：方位角，补角的概念。14如果一个角的补角是142，那么这个角的余角是_【答案】52【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。由题，这个角的余角 = 90 - 这个角又 这个角 = 180 - 这个角的补角 这个角的余角 = 90 -
13、 （180 - 这个角的补角） = 90 - （180 - 142）= 52故答案为52。考点：余角和补角的概念。三、解答题（每题10分）15若一个角的余角与这个角的补角之比是 2：7，求这个角的邻补角【答案】126【解析】试题分析：根据余角和补角的概念，确定所求角的等量关系式。需要说明的是邻补角是补角的一种，其定义为：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角。直接按照补角的计算公式求解即可。解：设这个角为，则这个角的余角为90-，这个角的补角为180-依照题意，这两个角的比为：（90-）：（180-）=2：7即 360-2=630-75=270=54
14、 这个角的邻补角为：180-54 = 126故答案为126。考点：余角和补角的概念，角度的计算。16如图，O是直线AB上一点，OC为任意一条射线，OD 平分BOC，OE平分AOC（1）指出图中AOD与BOE的补角；（2）试判断COD与COE具有怎样的数量关系并说明理由【答案】（1）AOD的补角为BOD，BOE的补角为AOE（2）COD与EOC互余，理由见解析【解析】（1）由题，AOD + BOD = 180BOE + AOE = 180 AOD的补角为BOD，BOE的补角为AOE。（2）OD平分BOC，OE平分AOC COD=BOC，EOC=AOC又 COD +EOC =（BOC+AOC）=
15、180=90COD与EOC互余。考点：余角和补角的概念【闯关测验】一、选择题（每题3分）1已知A=37，则A的余角等于（ ） A37 B53 C63 D143【答案】B【解析】试题分析：根据余角的概念，直接计算即可。A的余角 = 90 - 37 = 53故选B。考点：余角的概念。2若=30，则的补角是（ ） A30 B60 C120 D150【答案】D【解析】试题分析：根据补角的概念，直接计算即可。的补角 = 180 - 30 = 150故选D。考点：补角的概念。3已知的补角为 12512，则它的余角为（ ） A 3512 B3548 C5512 D5548【答案】A【解析】试题分析：根据余角
16、和补角的概念，直接计算即可。来源:学科网ZXXK的补角为12512则 =180-12512的余角的度数是90- = 90-（180-12512）= 3512故选A。考点：余角和补角的概念。4若A，B互为补角，且A B，则A 的余角是（ ） A B C D【答案】C【解析】试题分析：根据余角、补角的概念，找出题中已知各角的数量关系。A +B = 180A 的余角 = 90 - A = （A +B）- A = （B -A）故选C。考点：余角和补角的概念。5若与互为余角，是的2倍，则为( ) （A）20 （B）30 （C）40 （D）60【答案】B【解析】试题分析：根据题意列方程的： = 90- =
17、 2 = 30故选B。考点：余角的概念，角度的计算。6如图，小明 A处出发沿北偏东60方向行走至B处，又沿北偏西20方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（） A右转 80 B左转 80 C右转 100 D左转 100【答案】A【解析】试题分析：因为此时方向与出发方向相同，也就是要北偏东60度，而现在是北偏西20度，所以向右转80度就是北偏东60度了，也就和出发方向相等了，也就和AB平行了。故选A。考点：方位角。7在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54的方向，同时轮船B在南偏东15的方向，那么AOB的大小为（ ） A69 B111 C141 D159【答案】C【解析】试
18、题分析：根据方位角的概念、补角的概念，列出AOB的等量关系式，计算求出结果。AOB180 54+ 15141故选C。考点：方位角的概念、补角的概念。8如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中与互余的是（ ）A图 B图 C图 D图 【答案】A【解析】试题分析：根据互余、互补的定义结合图形判断即可。图：摆放的三角尺中有一个直角，所以+=90，即与互余，符合题意；图：两个直角摆放在一起，则重合的角与、都互余，所以=，不选；图：、分别是等腰直角三角形的两个邻补角，因为等腰三角形的两个底角相等，所以=，不选；图：由图可以看出：+=180，所以与互补，不选。故选A。考点：互余和互补的定义。二、填空题
19、（每题3分）9若1和2互为余角，且140，则2_【答案】50【解析】试题分析：根据互余的概念，和为90的两个角互为余角，直接计算即可。2度数 = 90- 1 = 90- 40= 50故答案为50。考点：互余的定义。10已知一个角的补角是12837，那么这个角的余角是_.【答案】3837【解析】试题分析：根据余角和补角的定义，可先求出该角，再求出其余角。也可以列出余角的等量关系式，直接求。由题，这个角=180-12837= 5123 其余角为：90-5123=3837故答案为3837。考点：余角和补角的定义。11若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数为_.【答案】45【解析】试题分析
20、：求谁设谁，根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。设这个角的度数是，由题，180-=3（90-）解得=45故答案为45。考点：余角和补角的定义。12已知与互余，且=40，则的补角为_度【答案】1307【解析】试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。与互余，且=40=90-=90-40=50的补角 = 180-50=130故答案为130。考点：余角和补角的定义。13若的余角为72，则的补角大小为_度。【答案】162【解析】试题分析：根据余角、补角的定义，列出所求角的等量关系式。由题，的补角 = 180 - 又 = 90 - 的余角 的补角 = 180 - = 180 -
21、（90 - 的余角）= 90 + 72 = 162故答案为162。考点：余角和补角的定义。14若A=6248，则A的余角=_。【答案】2712【解析】试题分析：根据余角定义，A的余角 =90- A = 90- 6248=2712故答案为2712。考点：余角定义。15已知点A在点B的北偏东62，则点B在点A的_【答案】南偏西62来源:Zxxk.Com【解析】试题分析：这是方位角的问题。方法是：先以B为中心，画十字，建立坐标。“A的方向为北偏东62”，画出A的位置；然后以A为中心，画十字，建立坐标去看B就可以了。从而确定A看B的方向是南偏西62。故答案为南偏西62。考点：方位角。16一个角是673
22、550，则它的补角是_【答案】1122410【解析】这个角的补角 = 180 - 673550 = 1795960 - 673550 = 1122410故答案为1122410。考点：补角的概念，度分秒的换算。17如图，OA的方向是北偏东15，OB 的方向是北偏西40，若AOC=AOB，则OC的方向是_【答案】北偏东70【解析】OA的方向是北偏东15，OB的方向是北偏西40AOB=40+ 15=55AOC=AOBOC的方向是北偏东15+ 55=70故答案为北偏东70。考点：方位角。三、解答题（每题10分）18一个角的余角比这个角的多30，请你计算出这个角的大小 【答案】48【解析】试题分析：求谁
23、设谁。根据余角的定义，以及题目中给定的数量关系，确定所求角的等量关系式。解：设所求角为，由题知，90 = + 30 = 48故所求角的大小为48。考点：余角的定义，角度计算。19如图，AOB=35，BOC=90，OD是AOC的平分线，求BOD的度数【答案】27.5【解析】来源:学科网试题分析：根据相关角度的数量关系，确定所求角的等量关系式，直接计算即可。注意用到角平分线这一条件。AOB=35,BOC=90；AOC =AOB+BOC = 35 + 90 = 125又OD是AOC的平分线,AOD = AOC = 62.5BOD =AOD-AOB = 6 2.5- 35 = 27.5故BOD的度数为
24、27.5。考点：角平分线，角度的计算。20如图，已知OB的方向是南偏东60，OA、OC 分别平分NOB 和NOE，（1）请直接写出OA的方向是_，OC的方向是_（2）求AOC的度数【答案】（1）北偏东60，北偏东45 （2）AOC=15 【解析】试题分析：解：（1） OA、OC分别平分NOB和NOE，NOE=90 NOC = 45由题，SOB = 60 ，则BOE=90- SOB = 30NOB=90+ BOE = 120NOA = 60因此，OA的方向是北偏东60，OC的方向是北偏东45。 （2）OB的方向是南偏东60则BOE30 NOB30 90120OA平分NOB 则NOANOB60 又OC分别平分NOE 则NOCNOE45 AOCNOANOC604515 考点：方位角，角平分线，角度的计算。
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