1、第8节正弦定理和余弦定理及其应用考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A；cos A；cos B；cos C2.SA
2、BCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解常用结论与易错提醒1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角时，有时出现一解、两解或无解的情况，所以要进行分类讨论(此种类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊 断 自 测1.判断下列说法的正误.(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在ABC中，若sin
3、Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2c2a20时，A为锐角，但B、C不一定为锐角，ABC不一定为锐角三角形.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.在ABC中，内角C为钝角，sin C，AC5，AB3，则BC()A.2 B.3 C.5 D.10解析由题意知cos C，设BCx，由余弦定理得(3)252x225x，化简得x28x200，解得x12，x210(舍去)，所以BC2，故选A.答案A3.(必修5P10B2改编)在ABC中，acos Abcos B，
4、则这个三角形的形状为_.解析由正弦定理得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形4.(2019九江一模)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2Acos2Bsin2Csin Bsin C，且ABC的面积为，则a的值为_.解析ABC中，由cos2Acos2Bsin2Csin Bsin C，得1sin2A(1sin2B)sin2Csin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，b2c2a2bc，由余弦定理得cos A，又A(0，)，A；由正弦
5、定理，即，化简得a23bc；又ABC的面积为SABCbcsin A，bc4，a212，解得a2.答案25.(2019杭州质检)设a，b，c分别为ABC的三边长，若a3，b5，c7，则cos C_；ABC的外接圆半径等于_.解析由题意得cos C，则sin C，则ABC的外接圆的半径等于.答案6.(2020绍兴适应性考试)已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若cos A，bc，且ABC的面积是，则b_，sin C_.解析由cos A得sin A，则ABC的面积为bcsin Ab，解得b，则c，由余弦定理得ac，所以sin Asin C.答案考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 (
6、1)(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A.4 B. C. D.2(2)(2020杭州四中仿真)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B30，ABC的面积为.且sin Asin C2sin B，则b的值为()A.42 B.42C.1 D.1(3)(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上.若BDC45，则BD_，cosABD_.解析(1)因为cos C2cos2121，所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4，故选A.(2)由题意得ABC的面积为acsin Bacsin 30，解
7、得ac6，又由sin Asin C2sin B结合正弦定理得ac2b，则由余弦定理得b2a2c22accos B(ac)22acac4b2126，解得b1，故选D.(3)如图，易知sin C，cos C.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cos ABDcos(90CBD)sin CBDsin(CBDC)sin(CBDC)sin Ccos BDCcos Csin BDC.答案(1)A(2)D(3)规律方法已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时需判断其解的个数，用余弦定理时可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】
8、(1)在ABC中，已知A30，AB2，BC，则cosACB_，AC_.(2)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析(1)根据正弦定理，可得sinACB，故cosACB，又因为cos A，所以AC.(2)在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.答案(1)(2)考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 变式迁移【例2】 (经典母题)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()
9、A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A.ABC为直角三角形.答案B【变式迁移1】 (一题多解)将本例条件变为“若2sin Acos Bsin C”，那么ABC一定是()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形解析法一由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB.法二由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定
10、理得2aca2b2ab.答案B【变式迁移2】 (一题多解)将本例条件变为“若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C”，试确定ABC的形状.解法一利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又a2b2c2ab.2b2c2b2，所以b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形.法二利用角的关系来判断：ABC180，sin Csin(AB)，又2cos Asin Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0，又A与B均为ABC的内
11、角，所以AB.又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，ABC为等边三角形.规律方法(1)判定三角形形状的途径：化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.(2)无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】 (2020北仑中学模拟)在ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C对应的三边，已知b2c2a2bc.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状，并说明理由.解(1)在AB
12、C中，由余弦定理可得cos A，由已知得b2c2a2bc，cos A，0A，故A.(2)ABC，A，CB.由sin Bsin C，得sin Bsin，即sin B，sin Bcos Bsin2B，sin 2B(1cos 2B)，即sin2Bcos 2B1，sin1.又0B，2B，2B，即B，CB，ABC是等边三角形.考点三三角形面积问题【例3】 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2，AB.(1)求的值； (2)若ABC的面积为1，且tan C2，求ab的值.解(1)c2， 2.(2) tan C2，且sin2Ccos2C1，C(0，)，sin C，cos C.SABCabs
13、in Cab1， ab.由余弦定理有cos C，a2b26.(ab)2a2b22ab62， ab1.规律方法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】 (2020嘉兴测试)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知.(1)求角A的大小；(2)若a，bc4，求ABC的面积.解(1)根据正弦定理，得，整理得2sin Bcos Acos Csin Asin CcosA，即2sin Bcos Asin(AC)，而ACB，所以2sin
14、 Bcos Asin B，又sin B0，解得cos A，又A(0，)，故A.(2)根据余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A，又a，bc4，A，故()2(4)22bc2bc，解得bc6，所以SABCbcsin A6sin .考点四与三角形有关的最值(范围)问题 多维探究角度1利用不等式求解【例41】 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin Absin B2csin C，则角C的最大值为_；若c2a2，则ABC的面积为_.解析由正弦定理得a2b22c2，又由余弦定理得a2b22(a2b22abcos C)，即4abcos Ca2b22a
15、b，cos C，所以0C，即C的最大值为；又c2a2，则由余弦定理得cos B，故ABC的面积为Sacsin B.答案角度2利用函数性质求解【例42】 在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C2B，则的取值范围是_.解析由C2B得ACB3B，因为ABC为锐角三角形，所以解得B，则在ABC中，由正弦定理得2cos B(，).答案(，)角度3利用图形求解【例43】 已知ABC是边长为3的等边三角形，点D为BC边上一点且BD1，E，F分别为边CA，AB上的点(不包括端点)，则DEF周长的最小值为_，此时BDF的面积为_.解析设D关于直线AB的对称点为M，关于AC的对称点为N，连接
16、MN，分别与AB，AC交于点F，E，则DEF周长的最小值为MN.D为BC的三等分点，等边ABC边长为3，DM2DP，DN2DQ2，又MDN120，MN.由RtDPF与RtMPF全等，DFMF.在MDN中，DM，DN2，MN，由余弦定理可得cos M.DFMF.在RtDPF中，DP，DF，PF.又BP，BDF的面积SBFDP.答案规律方法解决与三角形有关的最值(范围)问题，主要根据题设条件，借助基本不等式、函数的性质求解，有时还需要数形结合寻找解题思路.【训练4】 (1)(角度1)(2020浙江名校新高考研究联盟三联)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，ABC的面积S，则A_
17、；a的最小值为_.(2)(角度2)(2018北京卷)若ABC的面积为(a2c2b2)，且C为钝角，则B_；的取值范围是_.(3)(角度3)在ABC中，A，BC3，点D在线段BC上，且BD2DC，则AD的最大值是_.解析(1)因为，所以由正弦定理可得cos Asin A，即tan A.因为0A，所以A.因为ABC的面积为Sbcsin Abc，所以bc4.由余弦定理可得a2b2c2bcbc4，所以a2，当且仅当bc2时，a取最小值2.(2)ABC的面积Sacsin B(a2c2b2)2accos B，所以tan B，因为0B90，所以B60.因为C为钝角，所以0A30，所以0tan A2，故的取值
18、范围为(2，).(3)设ABC的外接圆的圆心为O，则由正弦定理得OAOBOC，又因为BOC2BAC，所以OBC(BOC)，则在BOD中，由余弦定理得OD2BO2BD22BOBDcosOBC()22222cos 1，所以OD1，则ADAOOD1，当且仅当A，O，D三点共线时等号成立，所以AD的最大值为1.答案(1)2(2)60(2，)(3)1基础巩固题组一、选择题1.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B()A. B.C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得sin Bsin A.A，B.答案D2.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22
19、b2(1sin A)，则A()A. B. C. D.解析在ABC中，由bc，得cos A，又a22b2(1sin A)，所以cos Asin A，即tan A1，又知A(0，)，所以A，故选C.答案C3.(一题多解)在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C()A.30 B.45 C.60 D.75解析法一SABCABACsin A，即1sin A，sin A1，由A(0，180)，A90，C60.故选C.法二由正弦定理得，即，sin C，又C(0，180)，C60或C120.当C120时，A30，SABC(舍去).而当C60时，A90，SABC，符合条件，故C60.故选C.答案C
20、4.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.解析根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.答案C5.在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析因为cos2，所以2cos211，所以cos B，所以，所以c2a2b2.所以ABC为直角三角形.答案B6.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos 2Acos 2B”的()A.充分不必要条件 B.
21、必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为在ABC中，absin Asin Bsin2Asin2B2sin2A2sin2B12sin2A12sin2Bcos 2Acos 2B.所以“ab”是“cos 2Acos 2B”的充要条件.答案C二、填空题7.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C60，b，c3，则A_.解析由正弦定理，得sin B，结合bc可得B45，则A180BC75.答案758.(2020上海嘉定区质检)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(abc)(abc)ac，则B_.解析因为(abc)(abc)ac，整理得：a2c2b2ac，即
22、cos B，所以B，故填.答案9.(2019杭州二中模拟)在三角形ABC中，sin，0A，AC5，AB3，则sin A的值为_，BC的长为_.解析因为0A，所以A.因为sin，所以cos，所以sin Asinsincos cossin .所以cos A.所以BC2AC2AB22ACABcos A2592410，所以BC.答案10.(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.点D为AB延长线上一点，BD2，连接CD，则BDC的面积是_，cosBDC_.解析依题意作出图形，如图所示，则sinDBCsinABC.由题意知ABAC4，BCBD2，则sinABC，cosABC.所以SBDCBCBD
23、sinDBC22.因为cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理得cosBDC.答案三、解答题11.(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.12.在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD2DC.(1)求；(2)若BAC60，求B.解(1)由正弦定理得，.因为AD平分BAC，BD2DC，所以.(2)因为C180(
24、BACB)，BAC60，所以sin Csin(BACB)cos Bsin B.由(1)知2sin Bsin C，所以tan B，即B30.能力提升题组13.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，且sin Bcos C，则下列结论中正确的是()A.A B.c2aC.C D.ABC是等边三角形解析由余弦定理知cos A，因为0A，所以A.由sin Bcos C，得sin Bcoscos Bsin B，即sin0，又0B0.当cos(AOP)1，即AOP时，阴影区域面积最大，为44sin .故选B.法二如图，设圆心为O，连接OA，OB，OP，AB，则阴影区域被分成弓
25、形AmB和ABP.APB，AOB2.弓形AmB的面积是定值，要使阴影区域面积最大，则只需ABP面积最大.ABP底边AB长固定，只要ABP的底边AB上的高最大即可.由图可知，当APBP时，满足条件，此时S阴影S扇形AOBSAOPSBOP222222sin44sin .这就是阴影区域面积的最大值.故选B.答案B15.若不等式ksin2Bsin Asin C19sin Bsin C对任意ABC都成立，则实数k的最小值为_.解析由正弦定理得kb2ac19bc，即k，k，因为cab，所以0，则tan B，当且仅当tan A时等号成立，所以tan B的最大值为.答案317.(2019全国卷)ABC的内角A
26、，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围.解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.又由(1)知AC120，故由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.结合AC120，得30C90，所以a2，从而SABC.因此ABC面积的取值范围是.18.在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，
27、c，且a2，2cos2sin A.(1)若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；(2)当ABC的周长取最大值时，求b的值.解由2cos2sin A，得1cos(BC)sin A，即sin Acos A，又0A，且sin2Acos2A1，有cos A，sin A.(1)若满足条件的ABC有且只有一个，则有absin A或ab，当absin A时，有2b，b，当ab时，0b2.则b的取值范围为(0，2.(2)设ABC的周长为l，由正弦定理得labca(sin Bsin C)2sin Bsin(AB)2sin Bsin Acos Bcos Asin B22(3sin Bcos B)22sin(B)，其中为锐角，且lmax22，当cos B，sin B时取到.此时bsin B.
