1、3.2空间向量的应用32.1直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1 已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1l2，则x_；y_.2 设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量为(2，4，k)，若，则k_.3 已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.4 从点A(2，1,7)沿向量a(8,9，12)的方向取线段长AB34，则B点的坐标为_5 若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系为_6 已知直线l1的方向向量为a(2,4，x)，直线l2的方向向量为b(2，y,2)，若|a|6，
2、且ab，则xy的值是_7 若a(1，1,1)，b(2，1，3)，则与a，b都垂直的单位向量为_二、能力提升8 在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示，E、F分别为BB1和A1D1的中点，则平面AEF的一个法向量是_9 已知直线l的方向向量u(2，1,3)，且l经过点A(0，y,3)和B(1,2，z)，则y_，z_.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量11已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2，0)，(1)试求平面的一个法向量；(2)若M(x，y，z)是平面内任意一点，求
3、x，y，z的关系式12如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12ACAB，BAC90，D是CC1的中点，试求平面AB1D的一个法向量三、探究与拓展13如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点(1)求BN的长；(2)求与夹角的余弦值；(3)求证：是平面C1MN的一个法向量答案162438 4(18,17，17)5l61或37或8(4，1,2)(不唯一)910证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，(1,0,0)0，0，.又
4、A1D1D1FD1，AE平面A1D1F，是平面A1D1F的法向量11解(1)A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)，设平面的法向量为n(x，y，z)依题意，应有n0，n0.即，解得.令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)(2)(x1，y2，z3)，n0.2(x1)(y2)0，即2xy40.12解方法一不妨设AC1，以A点为原点，以AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，D(1,0,1)，B1(0,2,2)则(1,0,1)，(0,2,2)设n(x，y，z)是平面AB1D的法向量，则，
5、得.令z1，得平面AB1D的一个法向量为n(1，1,1)方法二由(1,0,1)，可设平面AB1D的一个法向量为n(1，y,1)由n0，得2y20，y1.平面ABD的一个法向量为(1，1，1)13(1)解如图所示，以CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，|，线段BN的长为.(2)解依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1，1,2)，(0,1,2)，10(1)1223.又|，|，cos，.(3)证明依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B1(0,1,2)，N(1,0,1)M，(1,0，1)，(1，1,1)，1(1)100，110(1)(1)10.，又C1MC1NC1，平面C1MN.是平面C1MN的一个法向量
