1、 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的 记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到 了有趣的数据.数据表明，记忆量y是时间 间隔t的函数.艾宾浩斯根据 这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：123tyo20406080记忆的数量(百分数)天数 100思考1：当时间间隔t逐渐增大时，你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过 的知识?思考2:“艾宾浩斯记忆遗忘 曲线”从左至右是逐渐下降 的，对此，我们如何用数学观点进行解释？123tyo2040608010
2、0记忆的数量(百分数)天数 1.理解单调函数的定义；（重点）2.理解增函数、减函数的定义；（重点）3.掌握用定义法判断函数单调性的步骤；（难点）4.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx局部上升或下降下降上升 探究点 函数单调性的定义 Oxyx()f x以f(x)=x2为例说明图象的变化特点：f(x)=x2 Oxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxO
3、xyx()f x2()f xxOxyx()f x2()f xxOx()f xxy2()f xxxyOx()f x2()f xx（-，0上 随x的增大而减小;()f x0，+）上 随x的增大而增大.()f x对区间D内 任意x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)图象在区间I逐渐上升？OxDy区间I内随着x的增大，y也增大 x1x2f(x1)f(x2)MN对区间D内x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)xx1x2？Dyf(x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升对区间D内x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)xx1x2都y f(
4、x1)f(x2)OMN任意区间I内随着x的增大，y也增大图象在区间I逐渐上升D根据以上的探究，同学们互相交流一下，试着总结出增函数的定义.那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，D称为f(x)的 单调 减 区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)你能类比增函数的研究方法定义减函数吗？xOyx1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，D称为f(x)的 单调 增区间.当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，当x1x2时，
5、都有 f(x1)f(x2)，单调区间设函数y=f(x)的定义域为I：增函数的定义.（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（3）x1,x2 取值的任意性.（1）如果函数 y=f(x)在区间I内是单调增函数或单调减函数，那 么就说函数 y=f(x)在区间I上具有单调性.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.判断1：函数 f(x)=x2 在是单调增函数；,xyo2yx()判断2：定义在R上的函数 f(x)满足 f(2)f(1)，则函数 f(x)在R上是增函数；yxO12f(1)f(2)()xoy=(x-1)2-1 12-1yxy=x3o增区间为(,)增区间为增区间
6、为(,)1,)减区间为(,1即时训练:xoy=2x+1 yy写出下列函数的单调区间：例1.下图是定义在区间-5,5上的函数y=f(x)，根据 图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数?解析：函数 的单调区间有 yf(x)52)2,1),1,3),3,5,，其中 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数 yf(x)52)1,3)，2,1),3,5 整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤 然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳 下山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：00 20：00期间气温作为时间函数的
7、一个可能图象，并 说出所画函数的单调区间.解：单调增区间是 8,12）,13,18）;单调减区间是 12,13）,18,20.【变式练习】0.kpV 分析：即要求证明函数在（，）上是减函数2(例.物理学中的玻意耳定律为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强 将增大.试用函数的单调性证明之.kpkVp21121212()().VVkkp Vp VkVVVV则121 21221,(0,)0;,0.V VVVVVVV由，得由得120,()()0,kp Vp V又于是12()().p Vp V即作差变形 定号 判断 取值 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域(0,+)上的任
8、意两个实数，且V1V2,所以，函数 V(0,+)是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强p将增大.kpV，取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1;由x .所以f(x)-f(x)，已知 yf(x)与 yg(x)在区间 A 上均为增函数，判断函数yf(x)g(x)在区间 A 上的增减性解析：在区间 A 内任取两个值 x1、x2，设 x1x2，yf(x)，yg(x)为增函数，f(x2)f(x1)0，g(x2)g(x1)0，f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)f(x2)f(x1)g(x2)g(x1)0.思考交流 f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)，yf(x)g(x)在区间 A 上
9、是增函数探究 在此题的基础上请同学们继续探究若 f(x)、g(x)均为减函数，判断 yf(x)g(x)的增减性；若 f(x)为增函数，g(x)为减函数，判断 yf(x)g(x)，yg(x)f(x)的增减性并证明，并概括：增函数增函数为增函数，减函数减函数为减函数，增函数减函数为增函数，减函数增函数为减函数1.()(2 1)1111.2222f xaxbR设函数在 上是严格单调减函数，则有（）A.a .解析：直线y=kx+b在k0时，单调递减.2a-10,即af(1-2a),则a的 取值范围是 【解题关键】利用增函数的定义可知，a1-2a,即 1a.31(,)3,12()4f xxax 5.若二
10、次函数 在区间 上 单调递增，求a的取值范围.二次函数 的对称轴为 ,由图象可知只要 ，即 即可.2()4f xxax 2ax 12ax 2a oxy1xy1o解析：6.证明函数 在区间 上是增函数.f x2x()2,)证明：任取 ，且 ，12,2,)x x12xx则 1212()()22f xf xxx1212121212(22)(22).2222xxxxxxxxxx因为 12120,220，xxxx得 12()()f xf x所以函数 在区间-2,+)上是增函数 ()2f xx函数的单调性增函数增区间减函数减区间单调区间取 值 作 差 变 形 定 号 下结论证明步骤函数的单调性是函数在其定义域上的“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内.关注 如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵.
