1、数论-因数和倍数-因数和-2星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率因数和B1、了解因数和的概念。2、能够熟练求解一个整数的因数和。少考知识提要因数和 概念因数和：即一个整数的所有因数的和。因数和公式：a3 b2 c 的因数的和为（1+ a +a2 +a3 ）（1+ b + b2 ） （1+ c）精选例题因数和 1. 大于 0 的自然数，如果满足所有因数之和等于它们自身的 2 倍，则这样的数称为完美数或完全数比如，6 的所有因数为 1，2，3，6，1+2+3+6=12，6 就是最小的完美数，是否有无限多个完美的数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，
2、81 的所有因数之和为 【答案】121【分析】81 的所有因数为：1，3，9，27，81，所以因数之和为 1+3+9+27+81=121 2. 2010 的全部约数有 个，这些约数的和数是 【答案】16；4896【分析】详解：2010=23567，约数有 (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=16 个，约数之和是 (1+2)(1+3)(1+5)(1+67)=4896 3. 计算下列数的约数和：108、144【答案】（1）280；（2）403【分析】详解：（1）108=2232，它的所有约数之和是 (1+2+4)(1+3+9+27)=280（2）144=2432，它的所有约数之和是 (1+2
3、+4+8+16)(1+3+9)=403 4. 因数和是指一个数所有因数的和，例如 “6” 的因数和是 1+2+3+6=12（1）24 的因数和是多少？（2）一个自然数有 5 个因数，求因数和最小是多少？（3）一个数的因数和是 78，求这个数是多少？【答案】（1）60；（2）31；（3）45【分析】（1）24=2331+2+4+81+3=60；（2）拥有 5 个自然数形如 a4，最小为 24，所以因数和最小为 1+2+4+8+16=31；（3）78=6131+51+3+9=45 5. 数 360 的因数有多少个？这些因数的和是多少？【答案】24 个；1170【分析】360 分解质因数：360=2
4、22335=23325；360 的因数可以且只能是 2a3b5c，（其中 a，b，c 均是整数，且 a 为 03，b 为 02，c 为 01）因为 a、b、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，因数的个数为 (3+1)(2+1)(1+1)=24我们先只改动关于质因数 3 的因数，可以是 1，3，32，它们的和为 (1+3+32)，所以所有 360 因数的和为 (1+3+32)2y5w；我们再来确定关于质因数 2 的因数，可以是 1，2，22，23，它们的和为 (1+2+22+23)，所以所有 360 因数的和为 (1+3+32)(1+2+22+23)5w；最后确定关于质因数 5 的因
5、数，可以是 1，5，它们的和为 (1+5)，所以所有 360 的因数的和为 (1+3+32)(1+2+22+23)(1+5)于是，我们计算出值：13156=1170所以，360 所有因数的和为 1170 6. 36 的所有约数的和多少？90 的所有约数的和是多少？【答案】91；234【分析】简答：提示，牢记求约数和的公式，并能准确分解质因数 7. 360 的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】1170、36012【分析】360=23325，因数和：(20+21+22+23)(30+31+32)(50+51)=1170因数积：360n，n=(3+1)(2+1)(1+1)2=12所以因
6、数的积为 36012 8. 求出所有恰好含有 10 个因数的两位数，并求出每个数的所有因数之和【答案】124 或 186【分析】10=9+1=25，表达式为 a9 或者 ab4，29100，234100，只可能是 243=48 或 245=8048 的因数之和：20+21+22+23+2430+31=124，80 的因数之和：20+21+22+23+2450+51=186 9. 10000 的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】24211；1000012100【分析】10000=2454，因数和：(20+21+22+23+24)(50+51+52+53+54)=24211因数积为 (1002)n100，其中n=(4+1)(4+1)-12=12所以因数的积为100001210010. 360 共有多少个奇约数？所有这些奇约数的和是多少？【答案】6、78【分析】360=23325，奇约数有：(2+1)(1+1)=6(个)，奇约数的和是：(30+31+32)(50+51)=7811. 2000 的所有因数的和为多少？所有因数的积为多少？【答案】4836、200010【分析】2000=2453，因数和：(20+21+22+23+24)(50+51+52+53)=4836；因数积为 2000n，其中 n=(4+1)(3+1)2=10，所以因数的积为 200010
