1、几何-直线型几何-等积变形-1星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率等积变形B1.了解等积变形的概念2.能够熟练的应用等积变形来解决有关的几何题目少考知识提要等积变形 概念等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等 夹在一组平行线之间的等积变形 SABC=SBCD 精选例题等积变形 1. 图中由 3 个边长是 6 的正方形组成，则图中阴影部分的面积是 【答案】36【分析】等积变形如下：阴影部分面积：(62)62=36. 2. 如下图所示，一大一小两个正方形拼在一起，若阴影部分的面积是 10 平方米，小正方形的面积是 平方米【答案】20【分析】如下图所示，连接 BF,BF 和 AC
2、 平行，阴影部分面积等于三角形 ABC 的面积，而三角形 ABC 的面积是小正方形面积的一半，所以小正方形的面积是阴影部分面积的 2 倍，为 20 平方米 3. 如下图所示，四边形 ABCD 是梯形，上底是 8 厘米，下底是 16 厘米，点 E 是 BC 边上任意一点，如果 AED 的面积是 30 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 平方厘米【答案】90【分析】方法一：三角形 ADE 的高为 3028=7.5（厘米），那么梯形面积为 (8+16)7.52=90（平方厘米）方法二：由于 BC=2AD,AEB 与 ECD 的面积和是 AED 面积的 2 倍，所以梯形的面积是 30(1+2)=9
3、0（平方厘米） 4. 如下图所示，点 C 在线段 AE 上，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是正三角形，且 F 是线段 BC 的中点，G 是线段 DE 的中点若三角形 ABC 的面积为 27，三角形 AFG（阴影部分）的面积是 【答案】13.5【分析】如下图所示，连接 CG，那么 AFCG，根据梯形蝴蝶模型，得到SAFG=SAFC=12SABC=1227=13.5. 5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，EF 平行于 AC，连结 BE、AE、CF、BF那么与 BEC 等积的三角形有哪几个三角形？【答案】SBEC=SAEC=SAFC=SABF【分析】因为 ABCD，所以 SBEC=SAEC
4、，因为ADparallel BC，所以 SAFB=SAFC，因为 EFAC，所以 SAEC=SAFC即 SBEC=SAEC=SAFC=SABF 6. 如图，BCCD，AFBE，请比较 ABC、BCE、BCF，CDF 的面积大小【答案】一样大【分析】平行线之间的等积变形，这四个三角形底和高都相等，所以面积是一样大 7. 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米求三角形 CDF 的面积【答案】4 平方厘米【分析】连结 AF、CE因为 SADE=SACE；SCDF=SACF，又因为 AC 与 EF 平行，所以，SACE=SACF；SADE=SCDF=4(平
5、方厘米) 8. 如图，梯形 ABCD 中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？【答案】共 8 个三角形；ABC 与 DBC、ABD 与 ACD、ABO 与 CDO【分析】这是一个经典的梯形模型，共有三对三角形面积相等根据 AD 平行于 BC，可以知道 ABC 的面积等于 BCD 的面积；ABD 的面积等于 ACD 的面积ABD 和 ACD 有一个共同的 AOD，所以 ABO 和 OCD 的面积相等，我们称梯形的两翼面积相等 9. 如图，有三个正方形的顶点 D、G、K 恰好在同一条直线上，其中正方形 GFEB 的边长为 10 厘米，求阴影部分的面积【答案】100 平方厘米【分析】连结
6、 BD，EG，FK由 BDEG 知 SDGE=SBGE，由 EGFK 知 SGEK=SGEF，所以阴影部分的面积为 BGE 和 GEF 的面积之和，即为正方形 GFEB 的面积，1010=100(平方厘米)10. 四边形 ABCD 是一个直角梯形以上底 AD 为边向外作正方形 ADEF，面积为 9 平方厘米，连接 BE 交 AD 于 P，再连接 PC试求图中阴影部分的面积【答案】4.5 平方厘米【分析】连接 BD，因为 ADBC，所以，SPDC=SPBD，由于 BFDE，所以 SBDE=SADE，所以阴影部分的面积和三角形 ADE 的面积相等，为 92=4.5(平方厘米)11. 如图所示，梯形
7、 ABCD 中，E 是对角线 AC 上的一点已知 DE 和 AB 平行，那么与 ADC 面积相等的三角形一共有哪几个？【答案】ABD 和 ABE【分析】观察图中哪些线段平行，AD 平行于 BC，AB 平行于 DE根据 AD 平行于 BC，可以知道 ADC 的面积等于 ABD；根据 AB 平行于 DE，可以知道 ABD 的面积等于 ABE所以与 ADC 面积相等的三角形有 ABD 和 ABE12. 如图所示，大正方形的边长是 10 厘米，小正方形的边长是 8 厘米求阴影部分的面积【答案】（1）50 平方厘米；（2）32 平方厘米【分析】（1）如图，连小正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影
8、三角形与大正方形左半个等腰直角三角形同底（共同的底为大正方形对角线）等高、面积相等，等于大正方形面积的一半，为 50 平方厘米（2）如图，连大正方形对角线，两个正方形对角线平行，所以阴影三角形与小正方形右半个等腰直角三角形同底（共同的底为小正方形对角线）等高、面积相等，等于小正方形面积的一半，为 32 平方厘米13. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 20 厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【答案】200 平方厘米【分析】连接 CF，那么 CFBD，所以 $text阴影面积=text三角形$ BCD $的面积=20 times 20 div 2text = 2
9、00text(平方厘米)$14. 如图，过平行四边形 ABCD 顶点D作直线交 BC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F，已知 AEF 的面积为 10 平方厘米，求 BFC 的面积【答案】10 平方厘米【分析】连结 BD，因为 AFCD，SBFC=SBFD，又因为 BCAD，SABE=SBDE，所以 SBDF=SAEF，SBFC=SAEF=10（平方厘米）15. 如图，直角梯形 ABCD 中，SABE=75 平方厘米，阴影部分的面积为 15 平方厘米问长方形 ABCF 的面积是多少平方厘米？【答案】180 平方厘米【分析】连 BF根据等积变形，SBEF=S阴影=15(平方厘米)，因此长方形
10、ABCD 的面积是 S=(15+75)2=180(平方厘米)16. 在长方形 NOPQ 中，NQ=15 厘米，NO=8 厘米，四边形 STUR 的面积是 9 平方厘米，求阴影的面积是多少？【答案】69 平方厘米【分析】长方形 NOPQ 的面积是 158=120(平方厘米)，空白的面积是SNTP+SOTQ-S四STUR=1202-9=51(平方厘米)，那么阴影的面积是 120-51=69(平方厘米)17. 如图，在 ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AD 中点，连结 BE、CE，那么与 ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？【答案】SDBE、SDCE、SAEC【分析】等底等高的三角形面积
11、相同，所以 SABE=SDBE=SDCE=SAEC18. 如图，把大、小两个正方形拼在一起，它们的边长分别是 8 厘米和 6 厘米，那么图中阴影部分的面积分别是多少平方厘米？【答案】18 平方厘米【分析】利用等积变形，阴影部分面积为小正方形面积的一半，S=1266=18(平方厘米)19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若 SDAE=1，求 BEF 的面积【答案】1【分析】连接 AC，在梯形 CAFB 中，SBEF=SCAE又因为，CDAB，SCAE=SDAE=1所以，SBEF=120. 正方形 ABCD 和正方形 CEFG，如果两个正方
12、形的边长分别为 6 和 4，那么 AEG 的面积为多少？【答案】8【分析】连接 AC，那么 ACGE，阴影部分的面积与三角形 GCE 的面积相等，为：442=821. 如图所示，梯形 ABCE 是由正方形 ABCD 和等腰直角三角形 CDE 构成已知等腰直角三角形的斜边是 10 厘米，那么 BCE 面积是多少平方厘米？【答案】25 平方厘米【分析】根据等腰直角三角形的斜边，可以知道等腰直角三角形和正方形的面积分别是 25 平方厘米和 50 平方厘米方法一：BCE 的面积是正方形面积的一半，所以 BCE 的面积是 25 平方厘米；方法二：连结 BD，BCE 和等腰直角三角形是同高等底的两个三角形，所以面积相等，则 BCE 的面积也是 25 平方厘米
