1、几何-直线型几何-燕尾模型-0 星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形状2.熟悉燕尾模型的关系式3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂的几何问题少考知识提要燕尾模型燕尾模型结论一（1）（2）（3）结论二 精选例题燕尾模型1.如图，中 ，那么 的面积是阴影三角形面积的倍【答案】【分析】如图，连接 根据燕尾定理，所以，那么，同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 倍2.如图，已知正方形 中，是 边的中点，是 与 的交点四边形 的面积与正方形 的比是【答案】【分析】连接 、，可得 四边形 的面积与正方
2、形 的比是 3.如图，三角形 的面积是 ，是 的中点，点 在 上，且 ，与 交于点 则阴影部分面积等于【答案】【分析】方法一：连接 ，根据燕尾定理，设 份，则 份，份，份，如图所标所以 易得，阴影部分面积为 方法二：连接 ，由题目条件可得到 所以 而 所以则四边形 的面积等于 易得，阴影部分面积为 4.如下图所示，三角形 的面积是 ，是 的中点，点 在 上，且 ，与 交于点 ，则四边形 的面积等于【答案】【分析】如下图所示，连接 ，因为 ，三角形 的面积是 ，所以 根据燕尾模型，所以 所以四边形 的面积是 5.如图，在 上，在 上，且 ，与 交于点 四边形 的面积等于 ，则三角形 的面积【答案
3、】【分析】连接 ，根据燕尾模型，设 份，则 份，份，份，份，份，如图所标，所以 平行四边形 份，份所以 6.如图，四边形 是矩形，、分别是 、上的点，且 ，与 相交于 ，若矩形 的面积为 ，则 与 的面积之和为【答案】【分析】方法 1：如图，连接 、根据燕尾模型，而 ，所以 ，则 ，所以两个三角形的面积之和为 方法 2：如图，过 做 的平行线交 于 ，则 ，所以 ，即 ，所以 且 ，故 ，则 所以两三角形面积之和为 7.如图所示在 中，求 【答案】【分析】连接 因为 ，根据燕尾模型，即 ；又 ，所以 则 ，所以 8.如图，三角形 的面积是 ，在 上，点 在 上，且 ，与 交于点 则四边形 的面
4、积等于【答案】【分析】连接 ，根据燕尾定理，设 份，则 份，份，份，份，所以 9.在 中，求 【答案】【分析】连接 因为 ，根据燕尾模型，即 ；又 ，所以 ，所以 10.是边长为 厘米的正方形，、分别是 、边的中点，与 交于 ，则四边形 的面积是平方厘米【答案】【分析】连结 、设 份，根据燕尾模型得 份，份，正方形 份，份，所以 11.如图所示，在 中，是 的中点，那么 【答案】【分析】连接 由于 ，所以 ，根据燕尾定理，12.如图，正方形 的面积是 平方厘米，是 的中点，是 的中点，四边形 的面积是平方厘米【答案】【分析】连接 ，根据沙漏模型得 ，设 份，根据燕尾模型 份，份，因此 正方形
5、份，四边形 份，所以 四边形 （平方厘米）13.如图，在 中，点 是边 的中点，点 、是边 的三等分点，若 的面积为 ，那么四边形 的面积是【答案】【分析】由于点 是边 的中点，点 、是边 的三等分点，如果能求出 、三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形 的面积连接 、根据燕尾模型，那么 ，即 那么 四边形 另解：得出 后，可得 则 四边形 14.如下图所示，在 中，是 上一点，是 的中点，是直线 与 的交点，则 【答案】【分析】连接 ，设 的面积为 份，因为 ，那么 的面积也为 份，的面积为 份，那么也可以推出 的面积也为 份，所以 的面积为 份根据燕尾模型 15
6、.如下图所示，中，是 边的中点，是 边上的一点，且 ，为 与 的交点若 的面积为 平方厘米，的面积为 平方厘米且 是 平方厘米，那么 的面积是平方厘米【答案】【分析】连接 ，可以看到这是个非常典型的燕尾模型根据三角形等积变换：由 ，有 ；由 ，有 再根据燕尾模型：由 ，有 ；由 ，有 所以有 ，又已知 ，所以有 那么 平方厘米 16.正六边形 的面积是 平方厘米，分别是正六边形各边的中点请问下图中阴影六边形的面积是平方厘米【答案】【分析】方法一：如下左图，连接 ，过 做 的平行线 ，交 于 因为空白的面积等于 面积的 倍，所以关键求 的面积，在 中用燕尾模型时，需要知道 的长度比，根据沙漏模型
7、得 ，再根据金字塔模型得 ，因此 ，在 中，设 份，则 份，份，所以 正六边形 正六边形，因此 阴影 ()正六边形 平方厘米 方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 个梯形，所以阴影面积为 平方厘米 17.如下图，三角形 中，且三角形 的面积是 ，则三角形 的面积为，三角形 的面积为，三角形 的面积为【答案】，【分析】连接 、由于 ，所以 ，故 根据燕尾模型，所以 则 那么 同样分析可得 ，则 所以 同样分析可得 所以 18.如图，则 【答案】【分析】根据燕尾模型有 ，所以 19.如图所示，在四边形
8、 中，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为【答案】【分析】连接 ，根据燕尾定理 设 ，则其他图形面积，如图所标，所以 20.如下图所示，中，那么 的面积是阴影三角形面积的倍【答案】【分析】如下图所示，连接 根据燕尾模型，所以 那么 同理可知 和 的面积也都等于 面积的 ，所以阴影三角形的面积等于 面积的 ，所以 的面积是阴影三角形面积的 倍21.如图，三角形 的面积是 ，是 的中点，点 在 上，且 ，与 交于点 则四边形 的面积等于【答案】【分析】方法一：如图所示，根据燕尾模型，设 份，则 份，份，份，如图所标所以 方法二：如图所示，连接 ，由题目条件可得到 ，所以 ，而 所以则四边形
9、 的面积等于 22.如图，三角形 的面积为 平方厘米，、分别为各边的中点，那么阴影部分的面积是平方厘米【答案】【分析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差而从图中来看，既可以转化为 与 的面积之差，又可以转化为 与 的面积之差（法一）如图，连接 由于 、分别为各边的中点，那么 为平行四边形，且面积为三角形 面积的一半，即 平方厘米；那么 的面积为平行四边形 面积的一半，为 平方厘米根据几何五大模型中的相似模型，由于 为三角形 的中位线，长度为 的一半，则 所以 所以 那么 的面积占 面积的 ，所以阴影部分面积为 ()平方厘米 （法二）如图，连接 根
10、据燕尾定理，所以 平方厘米 而 平方厘米 所以 平方厘米 那么阴影部分面积为 平方厘米 【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：（1）利用面积公式：底 高 ；（2）利用整体减去部分；（3）利用比例和模型23.下图中，是平行四边形，为 的中点，和 的交点为 ，和 的交点为 ，和 的交点为 ，四边形 的面积是 平方厘米，则 的面积是平方厘米【答案】【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型（1）是 的中点，所以 （2）设平行四边形面积为“”是 的中点，所以 、占平行四边形面积的 ，梯形 占平行四边形面积的 ；（3）所以 同理可知 （4）根据一半模型，四边形 （5）的面积是 解法二：相似模型、等积变形与一半
11、模型（1）是 的中点，所以 ，而 ，()（2）设平行四边形面积为“”是 的中点，所以 、占平行四边形面积的 ，所以 同理可知 （3）根据一半模型，四边形 （4）的面积是 解法三：燕尾模型与一半模型（1）设平行四边形面积为“”（2）是 的中点，为 的中点，连接 ，设 为 份，也为 份，根据燕尾 为 份，再根据燕尾 也为 份，根据按比例分配，、都为 份，所以 同理可知 （3）根据一半模型，四边形 （4）的面积是 解法四：风筝模型与一半模型连接 同样可解24.三角形 的面积为 平方厘米，为 中点，为 中点，为 中点，求阴影部分的面积【答案】【分析】令 与 的交点为 ，与 的交点为 ，连接 ，在 中，
12、根据燕尾定理，所以 由于 S，所以 在 中，根据燕尾定理，设 份，则 份，份，份，所以 ，因为 ，为 中点，所以 ，所以 阴影 ()平方厘米 25.如图，中，阴影部分的面积占三角形 面积的几分之几？【答案】【分析】详解：连结 ，如图所示标份数已知阴影的面积占三角形 面积旳 26.如下图，三角形 中，求 【答案】【分析】根据燕尾定理，所以 所以 27.三角形 中，是直角，已知 ，那么三角形 （阴影部分）的面积为多少？【答案】【分析】连接 的面积为 根据燕尾定理，；同理 设 面积为 份，则 的面积也是 份，所以 的面积是 份，而 的面积就是 份，也是 份，这样 的面积为 份，所以 的面积为 28.
13、如图，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求三角形 的面积【答案】【分析】根据燕尾模型，并且有 ，故而 29.如图，在四边形 中，四边形 的面积是 ，那么平行四边形 的面积为_【答案】【分析】连接 ，根据燕尾模型 设 份，则其他图形面积，如图所标，所以 30.如图，长方形 的面积是 平方厘米，是 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】【分析】连结 ，设 份，则 份，因为 ，份设 份，则根据燕尾模型其他面积如图所示 阴影 平方厘米31.如图，已知 ，三角形 的面积是 ，求阴影部分面积【答案】【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系
14、，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，方法一：连接 ，因为 ，三角形 的面积是 ，所以 根据燕尾模型，所以 所以阴影部分面积是 方法二：连接 ，由题目条件可得到 所以 而 所以阴影部分的面积为 32.如下图所示，三角形 的面积为 ，点 、是 边的三等分点，点 、是 边的三等分点请问阴影部分的面积是多少？【答案】【分析】如下图所示，连接 ，设 ，则 ，从而有 ，易得 说明 四边形 ，所以 所以 再连接 ，根据燕尾模型，可以得到 则求出 图中阴影部分面积为 33.三角形 中，是直角，已知 ，三角形 （阴影部分
15、）的面积为 ，求三角形 的面积【答案】【分析】连接 根据燕尾模型，同理 设 面积为 份，则 的面积也是 份，所以 的面积是 份，而 的面积就是 份，也是 份，这样 的面积为 份，所以 的面积为 34.一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分（如图）修剪西部、东部、南部各需 分钟、分钟、分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？”【答案】【分析】如上图所示，将北部分分成两个三角形，并标上字母即有 即有 解得 所以修剪北部草坪需要 分钟 35.如图，已知 是 上的中点，是 上的中
16、点，是 上的点，且如下图，已知 ，求 【答案】【分析】连接 、根据燕尾定理，所以 因为 所以 所以 36.如图，三角形 的面积是 ，那么三角形 的面积是多少？【答案】【分析】如图所示：根据燕尾模型可知 因为 ，设 为 份，则其他三角形可以根据比例关系求出，最后 37.在 中，是 的中点，的面积是 ，则阴影部分的面积是多少？【答案】【分析】连接 ，设 是 份，那么 是 份，那么 是 份，根据燕尾模型可知 ，则 是 份，是 份，因为三角形 的面积是 ，那么阴影部分的面积是 38.如图，三角形 中，已知 ，请在图上标出各个小三角形的面积份数（即三角形 、的面积份数）【答案】见解析【分析】根据燕尾模型
17、可知：设 为 份，则其他三角形份数如图所示：39.如图所示，在三角形 中，点是 的四等分点，请问：阴影部分的面积占三角形 面积的几分之几？【答案】【分析】连结四边形 的对角线 ，将其分为 和 ，如下图所示由题意，点是 的四等分点，不妨就设 的面积是“”，而 的面积则是“”再根据 是 的中点，那么 的面积就是“”，的面积是“”根据燕尾模型得 ，所以 的面积就是“”份，的面积就是“”份，如下图所示由此可得阴影部分的面积和是“”，而 的总面积是“”，所以阴影部分占总面积的 40.如右图，三角形 中，求 【答案】【分析】根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 41.如右图，三角
18、形 中，且三角形 的面积是 ，求三角形 的面积【答案】【分析】连接 份根据燕尾模型，得 份 份 则 （份），因此 同理连接 、得 所以 三角形 的面积是 ，所以三角形 的面积是 42.如图，的面积为 ，点 、是 边的三等分点，点 、是 边的三等分点，那么四边形 的面积是多少？【答案】【分析】连接 、根据燕尾定理，所以 ，那么 ，类似分析可得 又 ，可得 那么，根据对称性，可知四边形 的面积也为 ，那么四边形 周围的图形的面积之和为 ，所以四边形 的面积为 43.如图，三角形 的面积是 ，是 的中点，点 在 上，且 ，与 交于点 则四边形 的面积是多少？【答案】【分析】方法一：连接 根据燕尾模型
19、，设 份，则 份，份，份，所以 方法二：连接 由题目条件可得到 所以 而 所以四边形 的面积等于 44.在三角形 中，阴影部分面积占 的几分之几？【答案】【分析】如图所示，设 为 份，那么 为 份，是 份，根据燕尾定理可知，则 是 份，且 可以求出 为 份，所以阴影部分的面积占 的 45.如图，的面积等于 平方厘米其中 ，求阴影三角形的面积【答案】平方厘米【分析】详解：连结 ，设 面积为 份，如图所示标份数，可得 平方厘米 46.如图，在三角形 中，点是 的四等分点，阴影部分的面积占三角形 面积的几分之几？【答案】【分析】设 ，则 ，根据燕尾模型有 ，所以 ，因此 阴影 47.如图，在四边形
20、中，四边形 的面积是 ，是平行四边形那么四边形 的面积是多少？【答案】【分析】详解：连结 和 ，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出 中每一块的份数因为 是平行四边形，可知 的面积也是 份 四边形 的面积是 48.如图，正方形 的边长是 ，、分别是 和 边的中点，阴影部分的面积是多少？【答案】【分析】设 和 的交点为 ，连结 ，连结 ，设 的面积为 ，标出份数可看出三角形 的面积是三角形 的 ，则三角形 的面积是正方形 的 所以阴影部分的面积是正方形 的 ，面积是 49.如图，三角形 的面积都是 ，三角形 的面积都是 ，三角形 的面积是 ，求三角形 的面积【答案】；【分析】对于左图 所以，而右图
21、是典型的燕尾模型，计算同样得 50.在三角形 中，阴影部分面积占 的几分之几？【答案】【分析】设 为 份，那么 为 份，根据燕尾定理可以求出 为 份，进而求出 为 份，而 ，所以求出 为 份，所以阴影部分面积占 的 51.如图在 中，求 的面积 的面积 的值【答案】【分析】连接 设 ，根据燕尾模型，得 份 份 则 份 所以 同理连接 、得 所以 52.如图，中，求四边形 的面积是三角形 的几分之几【答案】【分析】连结 ，如图所示标份数可知四边形 占三角形 的 53.三角形 中 ，四边形 的面积是三角形 的几分之几？【答案】【分析】设 ，那么 ，则 ，则 ，说明 ，三角形 是等腰三角形，则 ，进
22、而推出 ，那么四边形 的面积是三角形 的 54.如下图所示，点 为三角形内一点，连接 分别交 边于点 若三角形 之面积分别为 平方厘米，平方厘米，平方厘米，平方厘米请问三角形 的面积为多少平方厘米？【答案】平方厘米【分析】设 为 ，为 根据燕尾模型可以得到 转化为二元一次方程组如下：，解得 ，那么三角形 的面积为 平方厘米 55.在下图中，三角形 是直角三角形，已知 且 请问图中阴影部分的面积是多少？【答案】【分析】如下图所示，连接 ，根据燕尾模型 ，设 的面积为 份，那么 的面积为 份，的面积也为 份，那么 占整个图形面积的 ，阴影部分的面积为 56.如图，三角形 中，求 【答案】【分析】方
23、法 1：根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数），所以 方法 2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 由赛瓦定理：，则 57.如下图，已知 是 中点，是 的中点，是 的中点，由这 部分组成，其中比大 平方厘米，那么 的面积是多少平方厘米？【答案】【分析】解法一：因为 是 中点，为 中点，有 且 平行于 ，则四边形 为梯形在梯形 中有 ，又已知 ，所以 所以 而 ，所以 ，梯形 的面积为、四块图形的面积和，为 有 与 的面积相等，为 所以 面积为 因为 是 中点，所以 的面积是：平方厘米 解法二：如下图所示：题上给出了 所以 因为 是 的中点，是 的中点，由共边定理得：所以由上面的分
24、析得到：进一步共边原理可得：平方厘米 同样这个题目可以用相似模型也能解58.中，与 的比是多少？【答案】【分析】如图所示：连接 ，设 为 份，那么 为 份，根据燕尾模型，为 份，为 份，因为 ，所以 为 份，为 份，所以 与 的比是 59.如图，面积为 的三角形 中，、分别是 、的三等分点，求中心六边形面积【答案】【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 、，连接 在 中根据燕尾定理，所以 ，同理 ，所以 同理 根据容斥原理，和上题结果 六边形 60.如图，面积为 的三角形 中，、分别是 、的三等分点，求阴影部分面积【答案】【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令
25、 与 的交点为 ，与 的交点为 ，与 的交点为 ，与 的交点为 ，连接 、（1）求 四边形 ：在 中，根据燕尾定理，设 份，则 份，份，份，所以 ，所以 ，所以 四边形 ，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 面积的 （2）求 五边形 ：在 中，根据燕尾定理 ，所以 ，同理 在 中，根据燕尾定理 ，所以 所以 五边形 ()同理另外两个五边形面积是 面积的 所以 阴影 61.在 中，求？【答案】【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两
26、个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接 连接 因为 ，根据燕尾定理，即 ；又 ，所以 则 ，所以 62.在三角形 中，求 【答案】【分析】解法一：连接 ，可得 设 ，则 、再根据燕尾定理，所以 所以 解法二：可以用梯形蝴蝶定理来连接 ，把三角形 的面积看做“”，而 的长占 的 ，的长占 的 ，来表示 的面积，所以 63.如图，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是 ，求三角形 的面积【答案】【分析】根据燕尾模型，并且有 ，故而 64.如图，三角形 的面积是 ，求三角形 的面积？【答案】【分析】详解：，所以 65.已知三角形 中，三角形 的面积是 ，三角形 的面积是
27、 ，三角形 的面积是 ，求三角形 和三角形 的面积【答案】的面积是 ，的面积是 【分析】，所以 的面积是 的 ，的面积是 的 ，面积分别是 和 66.如图，等腰直角三角形 的斜边在等腰直角三角形 的斜边上，连接 、，于是整个图形被分成五块小三角形图中已标出其中三块的面积，那么三角形 的面积是【答案】【分析】方法一：延长 交 于点 ，连接 、，应用燕尾模型，得 再由蝴蝶模型，所以 同理 ，而 所以 ，同理 ，所以 ()方法二：由于等腰直角三角形 的面积是 ，所以 ，而 所以等腰直角 的高为 所以 的面积是 67.如图，中，求 【答案】【分析】根据燕尾模型得 （都有 的面积要统一，所以找最小公倍数
28、），所以 事实上本题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理：68.如图，三角形 中，求 【答案】【分析】根据燕尾定理得 所以 69.如图，面积为 的三角形 中，、分别是 、的三等分点，求阴影部分面积（如果结果是分数，将结果化成最简分数）【答案】【分析】令 与 的交点为 ，与 的交点为 ，与 的交点为 ，与 的交点为 ，连接 ，求四边形 的面积：在 中，根据燕尾模型，所以 因而四边形 的面积为 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 的 求五边形 的面积：在 中，根据燕尾模型，所以 同理可得 在 中，根据燕尾模型，所以 因此五边形 的面积为 同理另外两个五边形的面积也是 所以阴影部分的面积
29、为 70.如图，已知 ，三角形 的面积是 平方厘米，求四边形 的面积是多少？【答案】平方厘米【分析】连接 ，设 则由 知：，又 ，由燕尾模型结论知：再由 以及燕尾模型知 因为 ，所以 所以 （份）阴 （平方厘米）71.如图，正方形 的面积是 平方厘米，是 的中点，是 的中点，四边形 的面积是_平方厘米【答案】【分析】，所以 ，连接 ，设 ，则 ，由燕尾模型知 ，所以 ，又因为 ，所以 ，72.如图，三角形 被线段 、分成 个部分，已知三角形 的面积是 ，请问三角形 的面积是多少？【答案】【分析】连接线段 ，所以 ，根据燕尾模型，所以 ，又因为 所以 ，所以 73.如图所示，三角形 的面积为 ，、分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？【答案】【分析】给中间三角形的 个顶点标上字母，如图 所示由于 、分别是 条边上的三等分点，而 的面积为 ，所以 、的面积都是 ，这 个三角形的面积之和就等于大 的面积，它们的重叠部分是 个小三角形：、因此阴影 的面积就等于这 个小三角形的面积之和假设 ，由于 是 上的三等分点，可知 （如图 所示）由燕尾模型可得 ，所以 ；而 ，所以 （如图 所示）因此，整个 的面积是 ，则 ，即 类似地，小 和小 的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是
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