1、第二章基本初等函数()2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算(第一课时)学习目标理解n次方根与根式的概念;正确运用根式运算性质化简、求值;了解分类讨论思想在解题中的应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题:当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题:当生物死亡了5730,25730,35730,年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?当生物体死亡了6000年,10000年,100000年后,它体内
2、碳14的含量P分别为原来的多少?由以上的实例来推断生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系式应该是什么?考古学家根据上式可以知道,生物死亡t年后,体内碳14含量P的值.那么这些数(,(,(的意义究竟是什么呢?这正是我们将要学习的知识.二、学生探索,尝试解决问题1:什么是一个数的平方根?什么是一个数的立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?问题2:如果x4=a,x5=a,又有什么样的结论呢?问题3:如果x2=a,那么x叫做a的平方根;如果x3=a,那么x叫做a的立方根;如果x4=a,那么x叫做a的4次方根.你能否据此得到一个一般性的结论?问题4:上述结论中的n的取值有没有什么限制呢?方根的定义
3、:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且nN*.三、信息交流,揭示规律试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根.(多媒体显示,学生完成)(1)25的平方根是;(2)27的立方根是;(3)-32的5次方根是;(4)16的4次方根是;(5)a6的立方根是;(6)0的7次方根是.问题5:观察并分析以上各数的方根,你能发现什么?问题6:请仔细分析上述各题,并结合问题5中同学们发现的结论,你能否得到一个一般性的结论?问题7:是否任何一个数都有偶次方根?0的n次方根如何规定更合理?问题8:同学们能否把所得到的结论再总结得具体一些呢?n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广,
4、因此跟立方根和平方根的情况一样,方根也有如下性质:(1)当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数.这时,a的n次方根用符号表示.(2)当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成(a0).注:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作=0;当a0时,0,所以类似=2的写法是错误的.另外,我们规定:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.问题9:利用上面所学n次方根的知识,能否求出下列各式的值?(1)()2;(2);(3);(4)(a0).问题10:上
5、面的计算涉及了哪几类问题?组织学生结合例题及其解答,进行分析讨论,归纳出以下结论:(1)()n=a.例如,()3=27,()5=-32.(2)当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=|a|=例如,=-2,=2;=3,=|-3|=3.四、运用规律,解决问题【例1】求下列各式的值:(1)()3;(2);(3);(4)(ab).【例2】化简下列各式:(1);(2);(3);(4);(5).五、变式演练,深化提高1.若xR,yR,下列各式中正确的是()A.=x+yB.=x-yC.=2xD.=02.成立的条件是()A.0B.x1C.x1D.x23.在;(各式中nN,aR)中,有意义的是()A.B.C.D.4
6、.当8x1,nN*),则x叫做a的n次方根.当n是奇数时,实数a的n次方根用符号表示;当n是偶数时,正数a的n次方根用符号表示,负数的偶次方根无意义.式子叫做,其中n叫做,a叫做被.2.在实数范围内,正数的奇次方根是一个;负数的奇次方根是一个.正数的偶次方根是两个绝对值相等且符号相反的数;负数的偶次方根没有意义;0的任何次方根都是0.3.(1)()n=.(2)当n为奇数时,=;当n为偶数时,=|a|=七、作业精选,巩固提高1.复习课本P4850内容,熟悉巩固有关概念和性质;2.课本P59习题2.1A组第1题.参考答案一、设计问题,创设情境,()2,()3,.(,(,(.P=(.二、学生探索,尝
7、试解决问题1:若x2=a,则x叫做a的平方根.同理,若x3=a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数.问题2:如果一个数的4次方等于a,那么这个数叫做a的4次方根;如果一个数的5次方等于a,那么这个数叫做a的5次方根.问题3:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根.三、信息交流,揭示规律(1)5;(2)3;(3)-2;(4)2;(5)a2;(6)0.问题5:1.以上各数的对应方根都是整数;2.第(1)(4)题的答案有两个,第(2)(3)(5)(6)题的答案只有一个;3.第(1)(4)题的答案中的两个根互为相反数.问题6:一个数的奇次方根只有一
8、个;一个数的偶次方根有两个,且互为相反数.问题7:因为任何一个数的偶次方都是非负数,所以负数没有偶次方根;0的n次方等于0,所以0的n次方根等于0.问题8:(1);(2),-,.问题9:(1)5;(2)-2;(3)2;(4)a-3.问题10:主要涉及了()n与的问题.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)()3=-8;(2)=|-10|=10;(3)=|3-|=-3;(4)=|a-b|=a-b.【例2】解:(1);(2);(3)=-=-;(4)=x2;(5).五、变式演练,深化提高1.D2.D3.B4.2x-18六、反思小结,观点提炼1.根式根指数被开方数2.正数负数3.(1)a(2)aa-a
