1、函数的基本性质之 yx-2 -1 0 1 2 y=f(x)函数的单调性 一、三维目标:（一）、知识与技能：1.理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。（二）、过程与方法：1.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2.通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。（三）、情感态度与价值观：通过问题的引入，激发学生学习数学的兴趣，锻炼克服困难的意志，激励学生学习数学的自信心。二、教学重点：形成增（减）函数的形式化定义三、教学难点：如何从图像升降的直观认识过渡到函数
2、增减的数学符号。由函数 的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降 _?2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着_ f(x)=x(-,+)增大上升 f(x)=x2 由函数 的图象，观察其变化规律：Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Oxy1x)f(1x2xx)f(Ox)f(1x1xy2xx)f(1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而_2、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而_(-,0(0,+)增大减小x-3-
3、2-10123y9410149Oxy)f(xy 如何用x与 f(x)来描述上升的图象？)f(1x1x如何用x与 f(x)来描述下降的图象？)x(f1)x(f2)x(fy Oxy1x2x)f(2x2x思考()f xx2()f xx函数值随着自变量的增大而增大具有这种性质的函数叫做增函数.单调性的定义(),)f xx 在上的图象上升(2()0,)f xx在上的图象上升图形语言()1212()(),xxfxxxf在上任意改变 的值 都有()1212)0(),(xxxf xf x在上任意改变 的值 都有符号语言单调性的定义观察具有这种性质的函数叫做减函数.(2(),0)f xx 在上的图象是下降的图形
4、语言()1212)0(),(xxxf xf x 在上任意改变 的值都有符号语言函数值随着自变量的增大而减小文字语言例1 下图是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出 y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f(x)是增函数还是减函数。yx-5 -2 0 1 2 5解：函数 y=f(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,2),2,5.在区间-5,-2),1,2)上是减函数，在区间-2,1),2,5)上是增函数。说明 1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，这个区间可以是整个定义域，也可是定义域的真子集,求函数的单调区间必须先确定函数的定义域。2.函数的单调区间可以
5、是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的。对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在该闭区间上也单调。故只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点。3.虽然f(x)在区间-5,-2）,1,3）上都是减函数，但不能说f(x)在-5,-2）1,3）上是减函数。函数的增减性即单调性是函数的一个局部性质。练习1.如图，已知函数的图象(包括端点)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。yx-2 -1 0 1 2y=f(x)解：函数 y=f(x)的单调区间有-2,-1),-1,0),0,1),1,2.在区间-2,-1),0,1)上是减函数，在区
6、间-1,0),1,2)上是增函数。(,0)(0,)(),0 在上单调递减(0,+)在上单调递减1212,(,0),x xxx 且证任取明：2112121211()().xxf xf xxxx x则1212122112由x,x(-,0)得x x 0;由x 0.所以f(x)-f(x)0，1)0.根据函数单调性的定义，函数（在（，）上是减函数f xx取值 作差变形 12()(.f xf x即）定号 判断 例2:物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告述我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.证明:1234取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值,且x1
7、x2;作差变形：即作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并用因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;定号：确定差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时,可进行分类讨论;判断：根据定义作出结论.利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤:练习2.判断函数 在定义域 上的单调性.1yxx1,证明：在区间 上任取两个值 且 1,12,x x12xx则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x，且12xx
8、121 20,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数 在区间上 是增函数.1yxx1,取值作差变形定号结论1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量之间的关系.解：在一定范围内，生产效率随着工人的数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数增加而降低。结论：并不是工人数越多，生产效率越高。2.整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午（12：0013：00）时分一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳下山（18：00），才又开始转凉.请画出这天8：0020：00
9、期间气温作为时间的函数的一个可能图象，并说明所画函数的单调区间.解：单调增区间是 8,12）,13,18）;单调减区间是 12,13）,18,20.3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.解：函数的单调区间是-1,0）,0,2）,2,4）,4,5.在区间-1,0）,2,4）上函数是减函数；在区间0,2）,4,5上函数是增函数.4.证明函数 f(x)=3x2+2在(，0)上是减函数。证明：在(，0)上设任意两个实数x1、x2，且 x1 0，即 f(x1)f(x2)则f(x1)f(x2)x1、x2 (，0)，f(x)=3x2+2 在(，0)上是减函数。(3x
10、12+2)(3x22+2)3(x1+x2)(x1x2)又 x1 x2，x1x2 0，x1+x2 0,3(x12x22)1.函数的单调性反应了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律。当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时，函数在这个区间上单调递增；当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时，函数在这个区间上单调递减。2.函数的单调性是函数在其定义域上“局部”性质，即函数可能在其定义域上的某个区间内递增，在另外的区间上递减，研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内。3.函数单调性的定义，定量地刻画了函数的单调性，使用定义证明函数的单调性的基本步骤是：（1）取值；
11、（2）作差变形；（3）定号；（4）作出判断。4.我们熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性要熟练掌握。评价作业1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性课时目标 1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法1函数的单调性一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是_(3)如果函数yf(
12、x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有_，区间D叫做yf(x)的_2a0时，二次函数yax2的单调增区间为_3k0时，ykxb在R上是_函数4函数y的单调递减区间为_一、选择题1定义在R上的函数yf(x1)的图象如右图所示给出如下命题：f(0)1；f(1)1；若x0，则f(x)0；若x0，其中正确的是()ABCD2若(a，b)是函数yf(x)的单调增区间，x1，x2(a，b)，且x1x2，则有()Af(x1)f(x2)D以上都可能3f(x)在区间a，b上单调，且f(a)f(b)0B(x1x2)f(x1)f(x2)0Cf(a)f(x1)f(x2)06函数y的单调递减区间为()A(，3 B(，1C1，)D3，1二、填空题7设函数f(x)是R上的减函数，若f(m1)f(2m1)，则实数m的取值范围是_8函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.三、解答题9画出函数yx22|x|3的图象，并指出函数的单调区间10已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且ag(x)b，求证：f(g(x)在(a，b)上也是增函数如果你希望成功，那么就要以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
