1、1.5定积分的概念第1课时曲边梯形的面积与汽车行驶的路程Q以前农民种树是为了盖房子，但有的树长得很不争气(弯弯曲曲)，农民便生气地说：“这棵树盖房子不能用，太弯了”旁边的人便开玩笑说：“不弯，不弯，锯成灯笼底就不弯了 .”以前农历正月十五，农家孩子打的灯笼是自己做的，底是用圆木锯出来的，在灯笼的底上粘上蜡烛再用透明纸一包，一个简易的灯笼就做成了这虽然是玩笑，却蕴含着“以直代曲”的数学思想X1连续函数如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数2曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线xa、xb(ab)、y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如
2、图)(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：分割：把区间a，b分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图)；近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图)；求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积3求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在atb内所作的位移s.Y1下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是(D)Af(x)|x|B
3、f(x)sinxCf(x)lgx1 Df(x)解析作出各个函数的图象，可知应选D2函数f(x)x2在区间，上(D)Af(x)的值变化很小Bf(x)的值变化很大Cf(x)的值不变化D当n很大时，f(x)的值变化很小解析当n很大时，区间，的长度越来越小，f(x)的值变化很小故选D3当n很大时，函数f(x)x2在区间，上的值可以用下列哪个值近似代替(C)Af() Bf()Cf() Df(0)解析当n很大时，f(x)x2在区间，上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，也可以用左端点或右端点的函数值近似代替，故选C4已知自由落体的运动速度vgt(g为常数)，求在时间区间0，t内物体下落的距离解析(1
4、)分割：将时间区间0，t分成n等份把时间0，t分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间段tt，在各小区间物体下落的距离记作si(i1,2，n)(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程在上任取一时刻i(i1,2，n)，可取it，用gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t内所经过的距离可近似表示为sigt(i1,2，n)(3)求和：snsit012(n1)gt2.(4)取极限：s gt2.H命题方向1求曲边梯形的面积典例1求由直线x0、x1、y0和曲线f(x)x(x1)围成的图形面积附参考公式：122232n2.思路分析只要按照分割、
5、近似代替、求和、取极限四步完成即可解析(1)分割：用分点，把区间0,1等分成n个小区间：，简写作(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1、S2、Si、Sn.(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，以|f(i)|为其一边长，以小区间长度x为邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Si|f(i)|x(i1,2，n)(3)求和：因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯
6、形面积S的近似值，即SSif(i)|x012(n1)021222(n1)2n(n1)(2n1).(4)取极限：当分割无限变细，即x无限趋近于0时，n无限趋近于，此时无限趋近于S.从而有：S .所以由直线x0、x1、y0和yx(x1)围成的图形面积为.规律总结1.求曲边梯形面积的基本步骤是：分割、近似代替、求和、取极限2在“近似代替”中，在每一个小区间上通常取一个端点的值代入计算，这样做是为了计算简便3当f(i)为负值时，取|f(i)|为一边构造小矩形.跟踪练习1求由直线x0，x1，y0及曲线f(x)x2所围成的图形的面积解析(1)分割将区间0,1等分成n个小区间：0，1，每个小区间的长度为x.
7、过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作S1，S2，Sn.(2)近似代替在区间，上，用处的函数值()2作为高，以小区间的长度x作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即Si()2.(3)求和曲边梯形的面积为SnSi()2021222(n1)2(1)(1)(4)取极限曲边梯形的面积为S .命题方向2求变速运动的路程典例2已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v是时间t的函数v(t)，求物体在t0到tt0这段时间内所经过的路程s.解析(1)分割将时间区间0，t0分成n等份：(i1,2，n)，每个小区间所表示的时间为t；各区间物体运动的距离记作si(i1
8、,2，n)(2)近似代替在小区间上任取一时刻i(i1,2，n)(为方便计算，一般都取区间的左端点或右端点)，用时刻i的速度v(i)近似代替第i个小区间上的速度由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的距离可以近似地表示为siv(i)t(i1,2，n)(3)求和因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间0，t0范围内物体运动的距离s就可以用这一物体分别在n个小区间上做n个匀速直线运动的路程和近似代替，即ssi(i)t.(4)取极限当所分时间区间愈短，即t愈小时，和式的值就愈接近s.因此，当n，即t0时，和式的极限，就是所求的物体在时间区间0，
9、t0上所经过的路程由此得到s(i)t.规律总结求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.跟踪练习2一辆汽车做变速直线运动，若汽车在时刻t的速度为v(t)2t2，求汽车在t1到t4这段时间内运动的路程s.解析(1)分割将区间1,4等分成n个小区间1，1(i1,2，n)，每个区间的长度均为t，每个时间段所行驶的路程为si(i1,2，n)，则路程和snsi.(2)近似代替取i1(i1,2，n)，于是siv(i)t2(1)2(1ii2)(i1,2，n)(3)求和snsi(1ii
10、2)(1ii2)(2)n618(1)9(1)(2)(4)取极限ssn618(1)9(1)(2)42.故汽车在t1到t4这段时间内运动的路程s等于42.X利用定积分定义求变力做的功典例3弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即F(x)kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功思路分析利用定积分的定义求解解析将物体用力F沿着力的方向移动距离x，则所做的功为WFx，其中F是克服弹簧拉力的变力，则F关于移动距离x的函数F(x)kx.将0，bn等分，记x，分点依次为：x00，x1，x2，xn1，xnb.当n很大时，在区间xi，xi1上所用的力约为kxi，所做的功Wikxixkxi，所以从
11、0到b所做的总功W近似地等于Wixix012(n1)(1)，所以弹簧从平衡位置拉长b所做的功为：WWi kb2.规律总结分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形的面积，但这是近似值，分割得越细，近似程度就会越好，这是“以直代曲”方法的应用Y搞错区间端点致误典例4求由抛物线y2x2与直线x0，xt(t0)，y0所围成的曲边梯形的面积时，将区间0，t等分成n个小区间，则第i1个区间为()A，B，C， D，错解选C，因为从x0到xt得区间长度为t，平均分成n份，每个小区间长度为，故第i1个区间为，辨析在将区间0,1等分成n个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为，依次类推
12、，第i个小区间的左端点为，因此将区间0，tn等分后，第i个小区间的左端点应为.正解D将区间0，tn等分，每个小区间的长度为，故第1个小区间为0，第2个小区间为，第3个小区间为，故第i1个区间的左端点为，右端点为.点评不要出现简单的低级计算错误K1(2019大连高二检测)设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)x(其中x为小区间的长度)，那么Sn的大小(C)A与f(x)和区间a，b有关，与分点的个数n和i的取法无关B与f(x)，区间a，b和分点的个数n有关，与i的取法无
13、关C与f(x)，区间a，b和分点的个数n，i的取法都有关D与f(x)，区间a，b和i取法有关，与分点的个数n无关解析因为用分点ax0x1xi1xixnb.把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式Sn(i)，和式的大小与函数式、区间，分点的个数和变量的取法都有关2.求由抛物线f(x)x2，直线x0，x1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间0,1等分成5等份，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为0.33.解析S()2()2()5()2()20.33.3求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解析因为yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所以所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积S的2倍，下面求阴影部分的面积S.由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割：将区间0,2等分成n份，则x，取小矩形的高为f()2.(2)近似代替，求和：Sn2122232(n1)2(1)(1)(3)取极限：SSn(1)(1).所以所求阴影部分的面积为S24.所以2S.即抛物线yx2与直线y4所围成的图形面积为.
