1、高考资源网（） 您身边的高考专家13导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数Q研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)从股票走势曲线图来看，股票有升有降在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？X1函数的单调性与导函数正负的关系由导数的几何意义可知，函数f(x)在x0处的导数f(x0)即f(x)的图象在点(x0，f(x0)处的切线的斜率在xx0处f(x0)0，则切线的斜率kf(x0)0，若在区间(a，b)内每一点(x0，f(x0)都有f(x0)0，则曲线在该区间内是上升的反之若在区间(a，
2、b)内，f(x)0，则f(x)在此区间单调递增；(2)如果在区间(a，b)内，f(x)0得x2，选D2(2019德州高二检测)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是(A)解析f(x)在a，b上为增函数，f(x)在a，b上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A3(2019宣城二模)若函数f(x)x32ax2(a2)x5恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为(D)A1a2 B2a1Ca2或a1 Da1或a2解析若函数f(x)有3个单调区间，则f (x)4x24ax(a2)有2个零点，故16a216(a2)0，解得a1或a2，故选D4(2019重庆
3、高二检测)函数f(x)x2lnx的单调递减区间为(C)A(1,1) B(，1)C(0,1) D(1，)解析函数f(x)x2lnx的定义域为(0，)，f (x)x，令f (x)0，即x0，解得0x0.可知lnx1，即0x0，则yf(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f (x)0，则yf(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f (x)0，则yf(x)是常数函数，不具有单调性.跟踪练习1(2019阜阳高二检测)函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图象如图，记yf(x)的导函数为yf (x)，则不等式f (x)0的解集为(，1)(2,3).解析函数yf(x)在区间(，1)和区间(2,3)上单
4、调递减，所以在区间(，1)和区间(2,3)上，yf (x)0，所以f (x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间2若yf(x)在(a，b)内可导，f(x)0或f(x)0且yf(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则yf(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：yx3在R上f(x)0，所以yx3在R上单调递增跟踪练习2讨论函数f(x)(1x1，b0)的单调性解析f(x)的定义域为(1,1)；函数f(x)是奇函数，所以只需讨论函数在(0,1)上的单调性因为f (x)，当0x0，(x21)20，对于f (x).所以当b0时，f (x)0.所以函数f(x)在(0,1)上
5、是减函数；当b0，所以函数f(x)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b0时，f(x)在(1,1)上是减函数；当b5，ax1.x1(7，)，而ax1恒成立，a7.经检验a5和a7都符合题意，a的取值范围是5a7.规律总结1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f(x)0(或 f(x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令f(x)0(或 f(x)0，则当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增，当x(，)
6、时，f(x)0时，增区间为(，)，减区间为(，)，当k0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在(1,1)内单调递增，若k0，则g(1)0，k10，k1，0k1.若k0，则g(1)0，k10，k1，1k0时，证明：不等式ln(x1)xx2.思路分析利用导数证明不等式，首先要构造函数f(x)，而f(x)实际上就是不等式两边式子的差，即f(x)ln(x1)xx2.因此要证明原不等式，即证f(x)0在x0时恒成立解析证明：设f(x)ln(x1)xx2，则f(x)1x.当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数于是当x0时，f(x)f(0)0，当x0时，不等式ln(x1)xx2成立规律总
7、结若证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)，可以转化为证明：f(x)g(x)0.如果f(x)g(x)0，说明函数F(x)f(x)g(x)在(a，b)上是增函数若F(x)f(x)g(x)是增函数，f(a)g(a)0，当x(a，b)时，f(x)g(x)0，即f(x)g(x).跟踪练习4求证：当x1时，lnx.解析令g(x)lnx，则g(x)，x1，g(x)0，即函数g(x)在区间(1，)内是增函数，g(x)g(1)0，即lnx0，故lnx.Y利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误典例5设函数f(x)ax2lnx，且f (2)0，求函数f(x)的单调区间错因分析解答本题常常因为忽视f(x)的定义域
8、而得到错误的单调区间正解由已知得x0，则函数f(x)的定义域为(0，)f (x)a，由f (2)a10，得a.即f (x)(2x25x2)令f (x)0，得0x2，令f (x)0，得x0，则y1，对应的区间是(，2)故函数yf(x)的增区间为(，2)，故选B2函数f(x)的定义域为R，f(2)2022，对任意xR，都有f(x)x22018的解集为(C)A(2,2) B(2，)C(，2) D(，)解析令F(x)f(x)x22018，则F(x)f(x)2x0，F(x)在R上为减函数，又F(2)f(2)42018202220220，当xF(2)0，不等式f(x)x22018的解集为(，2)3设 f (x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf (x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(D)解析A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合4(2019苏州期末)已知函数f(x)在区间(m，m2)上单调递减，则实数m的取值范围为1,1.解析f (x)，令f (x)0，解得：1x3，故f(x)在(1,3)上递减，故(m，m2)(1,3)，故，解得：1m1，故答案为1,1- 9 - 版权所有高考资源网
